Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений
Тщательно поставленные опыты показали справедливость формулы Эйлера для стержней большой гибкости. В то же время эти опыты подтвердили неприменимость формулы Эйлера для стержней, гибкость которых λ<λo. Для таких стержней формула Эйлера дает значения критических нагрузок, превышающие их действительные значения. Попытки использовать формулу Эйлера для стержней средней и малой гибкости (λ<λo, σk>σпц) приводили иногда к серьезным катастрофам.
Теория устойчивости стержней за пределом пропорциональности была развита Т. Карманом (1909 г.).
Для критической нагрузки им было получено уравнение, аналогичное по структуре формуле Эйлера:
|
 ,
|
(13.15) |
где Т - приведенный модуль, или модуль Кармана.
Модуль Т является величиной переменной, зависящей как от величины напряжений σk, так и от формы сечения. Зависимость модуля Т от напряжений σk устанавливается на основании диаграммы сжатия материала стойки в осях σ, ε. При напряжениях σkЈσпц приведенный модуль Т принимает значение модуля упругости Е. Однако, оказалось, что определяемые формулой (13.15) критические напряжения несколько выше экспериментальных.
Лучшее согласование с экспериментальными данными дает формула Энгессера-Шенли
|
 ,
|
(13.16) |
где Ek - касательный модуль упругости, численно равный тангенсу угла наклона касательной к диаграмме сжатия σ=f(ε)материала при σ=σk.
Использование формул (13.15), (13.16) требует построения диаграммы сжатия для материала стержня, что осложняет их применение. Поэтому в практических расчетах на устойчивость при λ<λo часто пользуются либо непосредственно экспериментальными данными, либо эмпирическими формулами.
Наибольшее распространение имеет линейная формула, предложенная Ф.С. Ясинским (1895 г.):
|
 .
|
(13.17) |
В этой формуле λ - гибкость стержня, a и b - коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали 3 при σв=380 МПа и σт=240 МПа формула (13.17) имеет вид
 .
По формуле (13.17) проводится расчет на устойчивость стержней средней гибкости, разрушение которых при сжатии сопровождается значительным боковым выпучиванием.
Для стержней малой гибкости (λ<λ1) понятие потери устойчивости неприменимо в том смысле, в каком применяется для стержней большой гибкости. Стержни, у которых длина невелика по отношению к размерам поперечного сечения, выходят из строя главным образом из-за того, что напряжения сжатия в них достигают предела текучести σт (при пластичном материале) или предела прочности σв (при хрупком материале). Поэтому для стержней малой гибкости в качестве критического напряжения принимается предел текучести σт или предел прочности σв. Четкой границы между стержнями малой и средней гибкости провести нельзя. В расчетах принимают λ1=(0.2-0.4)λo.
Выбрав λ1, можно найти коэффициенты a и b в формуле (13.17), составляя уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (λ1, σт) и (λo, σпц):
 .
Зависимость критических напряжений σк от гибкости λ изображается графически в виде полной диаграммы критических напряжений. Такая диаграмма для стали представлена на рис. 13.11.
Рис. 13.11.
Для стержней малой гибкости зависимость σк от λ от выражена горизонтальной прямой, для стержней средней гибкости - наклонной прямой (13.17), а для стержней большой гибкости - гиперболой Эйлера.
Если известна гибкость рассчитываемого стержня, то критическое напряжение может быть найдено непосредственно по диаграмме критических напряжений.
|
Предыдущая
