Главная  Учебные курсы  Сопротивление материалов  Устойчивость сжатых стержней. Продольный изгиб  Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений

Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений

Тщательно поставленные опыты показали справедливость формулы Эйлера для стержней большой гибкости. В то же время эти опыты подтвердили неприменимость формулы Эйлера для стержней, гибкость которых λ<λ_o. Для таких стержней формула Эйлера дает значения критических нагрузок, превышающие их действительные значения. Попытки использовать формулу Эйлера для стержней средней и малой гибкости (λ<λ_o, σ_k>σ_пц) приводили иногда к серьезным катастрофам.

Теория устойчивости стержней за пределом пропорциональности была развита Т. Карманом (1909 г.).

Для критической нагрузки им было получено уравнение, аналогичное по структуре формуле Эйлера:

где Т - приведенный модуль, или модуль Кармана.

Модуль Т является величиной переменной, зависящей как от величины напряжений σ_k, так и от формы сечения. Зависимость модуля Т от напряжений σ_k устанавливается на основании диаграммы сжатия материала стойки в осях σ, ε. При напряжениях σ_kЈσ_пц приведенный модуль Т принимает значение модуля упругости Е. Однако, оказалось, что определяемые формулой (13.15) критические напряжения несколько выше экспериментальных.

Лучшее согласование с экспериментальными данными дает формула Энгессера-Шенли

где E_k - касательный модуль упругости, численно равный тангенсу угла наклона касательной к диаграмме сжатия σ=f(ε)материала при σ=σ_k.

Использование формул (13.15), (13.16) требует построения диаграммы сжатия для материала стержня, что осложняет их применение. Поэтому в практических расчетах на устойчивость при λ<λ_o часто пользуются либо непосредственно экспериментальными данными, либо эмпирическими формулами.

Наибольшее распространение имеет линейная формула, предложенная Ф.С. Ясинским (1895 г.):

В этой формуле λ - гибкость стержня, a и b - коэффициенты, зависящие от свойств материала. Например, для стали 3 при σ_в=380 МПа и σ_т=240 МПа формула (13.17) имеет вид

.

По формуле (13.17) проводится расчет на устойчивость стержней средней гибкости, разрушение которых при сжатии сопровождается значительным боковым выпучиванием.

Для стержней малой гибкости (λ<λ₁) понятие потери устойчивости неприменимо в том смысле, в каком применяется для стержней большой гибкости. Стержни, у которых длина невелика по отношению к размерам поперечного сечения, выходят из строя главным образом из-за того, что напряжения сжатия в них достигают предела текучести σ_т (при пластичном материале) или предела прочности σ_в (при хрупком материале). Поэтому для стержней малой гибкости в качестве критического напряжения принимается предел текучести σ_т или предел прочности σ_в. Четкой границы между стержнями малой и средней гибкости провести нельзя. В расчетах принимают λ₁=(0.2-0.4)λ_o.

Выбрав λ₁, можно найти коэффициенты a и b в формуле (13.17), составляя уравнение прямой, проходящей через две точки с координатами (λ₁, σ_т) и (λ_o, σ_пц):

.

Зависимость критических напряжений σ_к от гибкости λ изображается графически в виде полной диаграммы критических напряжений. Такая диаграмма для стали представлена на рис. 13.11.

Рис. 13.11.

Для стержней малой гибкости зависимость σ_к от λ от выражена горизонтальной прямой, для стержней средней гибкости - наклонной прямой (13.17), а для стержней большой гибкости - гиперболой Эйлера.

Если известна гибкость рассчитываемого стержня, то критическое напряжение может быть найдено непосредственно по диаграмме критических напряжений.

 Предыдущая  Устойчивость сжатых стержней за пределами упругости. Полная диаграмма критических напряжений  Следующая