О рациональном выборе основной системы. Использование прямой и обратной симметрии

Рациональной основной системой для заданной статически неопределимой конструкции является такая система, при которой наибольшее число побочных коэффициентов канонических уравнений обращается в нуль. Чем больше коэффициентов канонических уравнений равно нулю, тем, очевидно, проще и легче решить эти уравнения.

Упрощать решения задачи раскрытия статической неопределимости можно использованием симметричных и обратно симметричных стержневых систем. Отметим, что внутренние силовые факторы в сечении бруса можно также разделить на симметричные и обратно симметричные. К симметричным силовым факторам относятся изгибающие моменты My, Mz и нормальные силы N, так как в двух смежных сечениях бруса они симметричны относительно плоскости разреза (рис. 12.9), а к обратно (косо) симметричным относятся перерезывающие силы Qy, Qz и крутящие моменты Mx, поскольку они обратно симметричны относительно плоскости разреза.

Рис. 12.9.

Первая группа силовых факторов вызывает симметричные а вторая - обратно симметричные относительно плоскости разреза деформации прилегающих к разрезу частей бруса.

Рассмотрим сначала особенности симметричных стержневых систем. Геометрически симметричная стержневая система с нагрузкой симметричной относительной той же оси (плоскости), называет симметричной.

Вследствие полной симметрии такая система имеет симметричный вид и после деформации. Следовательно, перемещения симметричных сечений симметричны по направлению. Это означает, что в симметричных сечениях симметричной системы одноименные силовые факторы (а в опорных сечениях - опорные реакции) равны по величине и симметричны по направлению.

Если разрезать симметричную систему по оси (плоскости) симметрии, то нетрудно заметить, что обратно симметричные внутренние силовые факторы в этом сечении должны быть равны нули Действительно, обратно симметричные силовые факторы будут вызывать обратно симметричные деформации, которые противоречат характеру деформаций симметричной системы. Таким образом, в сечении по оси симметрии симметричной системы крутящие моменты Mx и перерезывающие силы Qy, Qz всегда равны нулю.

Покажем справедливость этих выводов на примере плоской симметричной рамы (рис. 12.10). Эта рама представляет собой плоский замкнутый контур и является трижды статически неопределимой системой. Выберем основную систему разрезом по оси симметрии. Допустим, что все внутренние силовые факторы - изгибающие моменты X1, нормальные силы X2 и перерезывающие силы X3 - отличны от нуля.

Рис. 12.10.

Раскрывая статическую неопределимость задачи методом сил, запишем систему канонических уравнений

Для вычисления ее коэффициентов построим эпюры изгибающих моментов от заданной и единичных нагрузок (см. рис. 12.10).

Эпюры от заданных нагрузок, изгибающих моментов и нормальных сил симметричны, а от перерезывающих сил - обратно симметричны. Произведение симметричной эпюры на обратно симметричную равно нулю, поэтому коэффициенты канонических уравнений

.

В результате система канонических уравнений принимает вид

Коэффициент δ33 отличен от нуля и поэтому перерезывающая сила X3 равна нулю.

Итак, в сечении по оси симметрии симметричной стержневой системы обратно симметричные силовые факторы равны нулю.

Вычисляя остальные коэффициенты канонических уравнений, получаем

.

Решая систему канонических уравнений, находим

.

Суммарная эпюра изгибающих моментов симметрична относительно оси симметрии рамы, так как ее ординаты представляй собой суммы ординат симметричных эпюр «P», «1» и «2» (ординаты двух последних увеличиваются соответственно в X1 и X2 раз). Таким образом, подтверждено и второе свойство симметричных систем: силовые факторы в симметричных сечениях симметричной стержневой системы равны по величине и симметричны по направлению.

Итак, основную систему в симметричных конструкциях надо выбирать путем удаления лишних связей на оси симметрии и следить за тем, чтобы и эквивалентная система была симметричной (только при этом условии реализуются свойства симметричных систем). Если в конструкции имеется стержень, направленный вдоль оси симметрии, то основную систему надо выбирать путем удаления лишних связей в симметричных сечениях.


Пример 12.3

Пример 12.4

Пример 12.5

Пример 12.6



 Предыдущая  О рациональном выборе основной системы  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования