Главная  Учебные курсы  Сопротивление материалов  Напряжения и деформации  Удельная потенциальная энергия деформации

Удельная потенциальная энергия деформации

В общем случае нагружения тела по граням элемента с размерами ребер dx, dy, dz будут действовать как нормальные, так и касательные напряжения. Потенциальная энергия, накопленная в этом элементе при деформации тела будет равна сумме работ внешних для выделенного элемента нормальных сил dNxxdydz, dNyydxdz, dNzzdxdy на удлинения ребер параллелепипеда Δdx=εxdx, Δdy=εydy, Δdz=εzdz и касательных сил dQxyxydydz, dQxzxzdxdy, dQyzyzdxdz на соответствующих им перемещениях γxydx, γxzdz, γyzdy граней элемента (см. рис. 3.13):

.

(3.42)

Работа нормальных и касательных сил

Рис. 3.13. Работа нормальных и касательных сил

Удельная потенциальная энергия, то есть энергия, накопленная в единице объема элемента, будет равна:

.

(3.43)

Если выразить компоненты деформаций через компоненты напряжений с помощью уравнений (3.36), (3.37) обобщенного закона Гука, то выражение для u запишется в следующем виде:

.

(3.44)

Предположим, что напряженное состояние в точке тела задано тензором напряжений

.

(3.45)

Представим этот тензор в виде суммы двух тензоров:

,

где

;

(3.46)

- шаровой тензор, а

(3.47)

- девиатор напряжений.

Представление тензора напряжений в виде суммы двух тензоров равносильно представлению данного напряженного состояния (рис. 3.14) в виде суммы двух напряженных состояний.

Удельная потенциальная энергия деформации при всестороннем растяжении с напряжением σm определяется из уравнения (3.44):

(3.48)

и называется удельной потенциальной энергией изменения объема, так как изменение объема зависит только от суммы нормальных напряжений (см. уравнение (3.41)).

Удельная потенциальная энергия деформации для элемента, по граням которого действуют компоненты девиатора напряжений, определяется после соответствующих преобразований из следующего уравнения:

images/IMG00097.gif

(3.49)

и называется удельной потенциальной энергией изменения формы. Очевидно, что удельная потенциальная энергия изменения формы в случае всестороннего растяжения с компонентами шарового тензора равна нулю. Точно также удельная потенциальная энергия изменения объема для элемента с компонентами девиатора напряжений равна нулю.

Представление напряженного состояния в виде суммы двух напряженных состояний

Рис. 3.14. Представление напряженного состояния в виде суммы двух напряженных состояний



 Предыдущая  Удельная потенциальная энергия деформации  Следующая 
 
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line