Определение напряжений на наклонных площадках
Для определения напряжений на произвольной наклонной площадке введем следующую индексацию координатных осей: x – 1, y – 2, z - 3, то есть индексы, имеющие ту или иную цифровую индексацию, соответствуют указанным координатным осям. Так, например, вектор направляющих косинусов внешней нормали n к наклонной площадке abc (см. рис. 3.5), имеет вид:
.
|
(3.6) |
Матрица компонент напряженного состоянии имеет следующий вид:
.
|
(3.7) |
Очевидно, что диагональные элементы указанной матрицы представляют собой нормальные напряжения, а не диагональные элементы – касательные напряжения. Тогда компоненты вектора полного напряжения p на наклонной площадке abc по координатным осям определятся из следующего уравнения:
,
|
(3.8) |
или более подробно:
.
|
(3.9) |
В обычной форме записи, имеем:
.
|
(3.10) |
Рис. 3.5. Напряжения на наклонной площадке
Нормальное напряжение на наклонной площадке abc определится проекцией вектора полного напряжения на нормаль из следующего уравнения:
,
|
(3.11) |
где pT - транспонированный вектор (3.9). Более подробно уравнение (3.11) можно представить в следующем виде (с учетом закона парности касательных напряжений (3.4)):
.
|
(3.12) |
Тогда касательное напряжение на наклонной площадке abc определится из следующего уравнения:
,
|
(3.13) |
где модуль вектора полного напряжения равен:
.
|
(3.14) |
|