Главная  Учебные курсы  Сопротивление материалов  Кручение  Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения

Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения

Под действием внешнего скручивающего момента, приложенного на правом конце вала (рис. 7.2), левый конец которого жестко закреплен, стержень будет закручиваться. При этом любое сечение стержня, оставаясь плоским, будет поворачиваться на некоторый угол φк, называемый углом закручивания. Этот угол изменяется по длине вала от нуля в заделке до максимального на правом конце вала. При этом образующая внешней цилиндрической поверхности вала повернется на угол γ, называемый углом сдвига. Этот угол изменяется вдоль радиуса сечения от нуля на оси вала до - γmax на внешней поверхности. Опыт показывает, что после закручивания бруса круглого сечения поперечные линии, нанесенные на его поверхности, остаются плоскими, а диаметры сечений и расстояния между ними не изменяются. При этом прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных сечениях бруса, а по закону парности касательных напряжений – и в продольных его сечениях, то есть напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. На основании опыта вводятся следующие гипотезы:

  1. Нормальные напряжения в поперечных сечениях отсутствуют (иначе изменялись бы расстояния между сечениями).
  2. Поперечные сечения при кручении остаются плоскими.
  3. Радиусы в поперечных сечениях остаются прямолинейными (не искривляются).

Рис. 7.2.

С учетом указанных гипотез геометрическая картина деформаций вала представлена на рис. 7.2. Рассмотрим, вырезанный из вала клиновидный элемент (см. рис. 7.2) длиной dx. Из рисунка видно, что

,

(7.2)

откуда следует, что угол сдвига изменяется по радиусу вала по линейному закону.

Согласно закону Гука при сдвиге (3.34), имеем:

откуда получаем:

,

(7.3)

что касательные напряжения в сечении вала изменяются по радиусу по линейному закону.

При чистом кручении все внутренние силы, распределенные по поперечному сечению, приводятся к одной составляющей – крутящему моменту относительно нормальной к сечению оси. Касательные напряжения перпендикулярны радиусам, проведенным через точки их действия (рис. 7.3).

Рис. 7.3.

Для доказательства этого будем исходить от противного, то есть, предположим, что касательное напряжение не перпендикулярно радиусу. Это означает, что в каждой точке сечения, кроме касательных напряжений, перпендикулярных радиусам, действуют радиально направленные касательные напряжения. Но если это так, то по закону парности и на цилиндрической поверхности радиуса ρ или r будет действовать касательное напряжение, что неверно, так как на боковой поверхности нет напряжений.

Крутящий момент в сечении бруса определяется из уравнения (3.5):

или в более краткой записи

,

(7.4)

где ρ - плечо элементарной касательной силы τ

,

(7.5)

где - есть полярный момент инерции сечения. С учетом уравнения (7.3) можно определить касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения вала, определяемой радиусом ρ:

,

(7.6)

а также максимальное касательное напряжение, действующее на контуре вала:

,

(7.7)

где Wp - полярный момент сопротивления.

Эпюра распределения касательных напряжений по радиусу показана на рисунке 7.4 для сплошного и полого валов.

Рис. 7.4.

Угол закручивания вала нетрудно определить на основе полученного выше уравнения:

,

из которого с учетом (7.6) имеем:

.

(7.8)

Угол закручивания всего бруса

.

(7.9)

Если брус имеет несколько участков с различными аналитическими выражениями для Мкр или различными выражениями Ip, то

.

(7.10)

В частном случае при Мкр(x)=const или Ip=const, то есть только для бруса постоянного сечения, нагруженного по концам сосредоточенными парами,

.

(7.11)



 Предыдущая  Напряжения и деформации при кручении бруса круглого поперечного сечения  Следующая 
 
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика
Яндекс цитирования
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика