Главная  Учебные курсы  Сопротивление материалов  Расчет на прочность при колебаниях  Колебания упругих систем с одной степенью свободы

Колебания упругих систем с одной степенью свободы

При составлении уравнений движения будем исходить из принципа Д'Аламбера, который заключается в том, что к движущейся с ускорением системе могут быть применены уравнения статики, если в число внешних сил включена фиктивная сила инерции, равная произведению массы на ускорение и направленная против ускорения. Этот формальный прием, вытекающий из элементарных соотношений динамики, дает особенно ощутимые преимущества при составлении уравнений движения для систем с несколькими степенями свободы.

В таблице 16.1, а также на рис. 16.2-16.4 представлены основные характеристики колебаний механических систем с одной степенью свободы. При этом рассматриваются свободные колебания (рис. 16.2), свободные колебания с линейным затуханием (рис. 16.3) и вынужденные колебания (рис. 16.4). На указанных рисунках действуют: сила упругости растянутой пружины – Fупр=cy, вес груза – P=mg, сила сопротивления, пропорциональная первой степени скорости движения – Fсопр=μy/, сила инерции – Fин=my//, возмущающая сила – Fвозм=Hasin pt, изменяющаяся по периодическому закону.

Во всех трех случаях колебательного движения координата y отсчитывается от положения, соответствующего ненапряженной пружине (без груза) вниз. При этом предполагается, что такое же положительное направление имеют скорость и ускорение. Поэтому сила сопротивления (рис. 16.3, 16.4) и сила инерции направлены вверх. Во всех случаях ym представляет собой статическое перемещение, вызванное приложенной массой m к упругой системе. В положении статического равновесия сила упругости растянутой на величину ym пружины уравновешивается весом:

.

(16.1)

Уравнение (16.1) позволяет с учетом преобразований дифференциального уравнения свободных колебаний, выполненных в таблице 16.1, получить уравнение для определения круговой частоты собственных колебаний упругой системы:

,

(16.2)

где c - жесткость упругой системы.

Дифференциальные уравнения в таблице 16.1 составлены для исходной системы координата путем проекции всех сил на вертикальную ось. С целью упрощения решения далее выполнено преобразование системы координат путем сдвига вниз на величину ym, то есть вводится новая переменная z=y-ym. Решения дифференциальных уравнений, представленные в таблице 16.1, иллюстрируются рисунком 16.4 для свободных колебаний и рисунком 16.5 для свободных колебаний с учетом сил сопротивления.

Полученные в таблице 16.1 решения позволяют определить амплитуды и сдвиг фаз колебаний путем задания начальных условий.

 

Таблица 16.1. Основные характеристики колебаний упругих систем с одной степенью свободы

Колебания Свободные Свободные с учетом сил сопротивления Вынужденные с учетом сил сопротивления
Схема колебательного процесса Рис. 16.2. Рис. 16.3. Рис. 16.4.
Дифференциальное уравнение
Решение
График решения Рис. 16.5. Рис. 16.6. -
Частота колебаний p
Амплитуда и сдвиг фаз колебаний ;

Рис. 16.2.

Рис.16.3.

Рис.16.4.

Рис. 16.5.

Рис. 16.6.

Свободные колебания (рис. 16.2) происходят без рассеяния энергии, то есть при отсутствии сил сопротивления и продолжаются неопределенно долго. В действительности всегда существуют внешние силы, направленные против движения масс и приводящие к постепенному уменьшению амплитуды колебаний (рис.16.3). По истечении некоторого времени собственные колебания полностью прекращаются.

Природа сил сопротивления бывает различной. Это может быть сопротивление среды (воздух, вода), сопротивление масляного слоя в подшипниках, внутреннее трение в частицах метала и пр. Сила трения довольно сложно зависит от параметров движения упругой системы. Для большей простоты принимают обычно, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости движения. Например, для рассмотренной системы «масса-пружина» (рис. 16.3) при составлении уравнения движения в число внешних сил включается сила сопротивления Fсопр=μy/, где μ - коэффициент пропорциональности между силой и скоростью. Из полученного в таблице 16.1 решения дифференциального уравнения свободных колебаний с учетом сил сопротивления видно, что при линейном затухании колебания происходят с уменьшающейся амплитудой (рис. 16.6) при частоте ω1. Величина ω1 мало отличается от ω, то есть от частоты собственных колебаний без затухания, поскольку величина n2 (2n=μ/m) практически ничтожна по сравнению с ω. Через интервал времени T=1/2πω1 амплитуда колебаний уменьшается в отношении

.

Это означает, что отношение двух последующих амплитуд остается величиной постоянной, не зависящей от времени. Это верно постольку, поскольку сила сопротивления пропорциональна скорости движения массы.

При составлении дифференциального уравнения вынужденных колебаний вводится также внешняя возмущающая сила (рис. 16.4), изменяющаяся по гармоническому закону с амплитудой Ha и круговой частотой - p. Полное решение дифференциального уравнения вынужденных колебаний, как видно из таблицы 16.1, складывается из решения однородного уравнения без правой части и частного решения уравнения с правой частью. Решение однородного уравнения дает закон движения при собственных колебаниях с затуханием. Частное решение представлено в таблице 16.1. Из полного решения видно, что система участвует в двух колебательных движениях. Первое представляет собой собственное колебательное движение, амплитуда и фаза которого определяются начальными условиями. Эти колебания являются затухающими и по истечении некоторого времени практически исчезают. Второе колебательное движение происходит с частотой возмущающей силы p и сдвигом фаз ψ. Оно не затухает, а продолжается, пока действует возмущающая сила. Эти колебания называются вынужденными. Амплитуда вынужденных колебаний, согласно таблице 16.1 будет:

.

(16.3)

Отношение уст(Ha)= Ha/c представляет собой перемещение, которое получила бы упругая система, если бы к ней была статически приложена сила Ha. Следовательно, коэффициент

(16.4)

показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением возмущающей силы. Этот коэффициент называется коэффициентом усиления колебаний. Безразмерный коэффициент λ в уравнении (16.4) представляет собой коэффициент усиления колебаний при резонансе, так как β=λ при p=ω. Коэффициент β зависит от двух величин: от отношения частот p/ω и параметра λ=ω/2n, то есть от параметра затухания колебаний. На рис. 16.7 показаны кривые зависимости коэффициента усиления колебаний β от отношения частот для нескольких значений λ.

Рис. 16.7.

При λ=∞, то есть при n=0 (при отсутствии затухания), величина β в случае совпадения частот собственных и вынужденных колебаний p/ω=1 обращается в бесконечность. Это означает, что амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает. При наличии затухания величина β остается ограниченной, но в зоне совпадения частот имеет максимальное значение.

Явление повышения амплитуды при совпадении частот собственных колебаний и возмущающей силы носит название резонанса, а само совпадение частот называется условием резонанса.

В практике инженерных расчетов на динамическую прочность вопросы резонанса по своей значимости занимают одно из первых мест. Дело в том, что в большинстве случаев законы изменения возмущающих сил носят периодический характер. Так, например, несбалансированные подвижные части работающего двигателя создают периодически изменяющиеся силы. Поезд, идущий по пути с постоянной скоростью, получает периодические толчки на стыках рельсов. Детали приборов, установленных на вибрирующем основании (на самолете, автомашине), получают в процессе работы толчки с частотой колеблющегося основания. Во всех этих случаях возникает вопрос о том, насколько опасны возмущающие силы для работы упругой системы и не приведут ли они к ее чрезмерной раскачке и преждевременному разрушению.

Такая задача решается, прежде всего, путем сопоставления частот собственных колебаний и возмущающей силы. В случае, если эти частоты сильно отличаются друг от друга, можно быть уверенным в том, что явление резонанса не возникнет и условия работы для упругих элементов являются благоприятными. При этом представляется возможным определить амплитуду вынужденных колебаний и максимальное значение действующих напряжений цикла. Если коэффициент усиления колебаний β найден, максимальное значение цикла переменных напряжений определяется по следующей формуле:

,

(16.5)

где σст(Ha) - напряжение, которое возникло бы в упругой системе при статическом приложении максимального значения возмущающей силы Ha; σт - напряжение, возникающее в упругой системе под действием статически приложенного груза P=mg (среднее напряжение цикла); σa - амплитуда цикла переменных напряжений.

Аналогично определяется максимальное перемещение в упругой системе:

,

(16.6)

Условие прочности при вынужденных колебаниях имеет следующий вид:

,

(16.7)

где [σ]- основное допускаемое напряжение материала.

Для определения области запретных отношений частот (при ω=const), в которой максимальные напряжения превышают допускаемые (см. рис. 16.8), необходимо решить относительно x=p/ω следующее уравнение:

.

(16.8)

При этом следует иметь в виду, что возмущающая сила Ha зависит от частоты p=xω, а, следовательно, от x.

Рис. 16.8.

В случае, когда сопоставление частот p и ω указывает на опасность резонанса, обычно путем конструктивных изменений добиваются изменения той или иной частоты. При этом наиболее целесообразным будет изменение частот в сторону увеличения отношения p/ω с тем, чтобы добиться наиболее заметного снижения коэффициента β (см. рис. 16.7). Проще всего этого достичь смягчением подвески, то есть уменьшением жесткости упругих элементов колебательной системы. Если конструктор лишен возможности варьирования частотами, то при возникновении опасности резонанса практикуется демпфирование системы, то есть установка специальных устройств, повышающих рассеяние энергии при колебаниях. Коэффициент затухания n при этом возрастает, и амплитуда в зоне резонанса при неизменном отношении частот снижается.

При приложении возмущающих сил амплитуда вынужденных колебаний достигает своего значения не сразу. Требуется некоторое время, чтобы «раскачать» систему. В связи с этим кратковременное состояние резонанса для сооружений не представляет, как правило, опасности, так как амплитуда в течение короткого промежутка времени не успевает достичь больших значений.

 

Пример 16.1

Пример 16.2



 Предыдущая  Колебания упругих систем с одной степенью свободы  Следующая 
 
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика
Яндекс цитирования
Наш сайт работает на Sapid CMS