Главная  Учебные курсы  Сопротивление материалов  Плоский прямой поперечный изгиб  Перемещения при изгибе  Определение перемещений с помощью способа Верещагина

Определение перемещений с помощью способа Верещагина

В 1925 г. А. Н. Верещагин предложил простой графоаналитический прием вычисления интеграла Мора в случаях, когда эпюра M_z¹ (или M_z) ограничена прямыми линиями. По существу это прием графоаналитического вычисления определенного интеграла от произведения двух функций f(x) и φ(x), из которых одна, например φ(x), линейная, т. е. имеет вид

.

Рассмотрим участок балки, в пределах которого эпюра изгибающих моментов от единичной нагрузки ограничена одной прямой линией M_z¹=kx+b, а изгибающий момент от заданной нагрузки изменяется по некоторому произвольному закону M_z. Тогда в пределах этого участка

.

Второй интеграл представляет собой площадь ω эпюры M_z на рассматриваемом участке, а первый - статический момент этой площади относительно оси y и поэтому равен произведению площади ω на координату ее центра тяжести x_c. Таким образом,

.

Здесь kx_c+b - ордината y_c эпюры M_z¹ под центром тяжести площади ω. Следовательно,

Произведение ωy_c будет положительным, когда ω и y_c расположены по одну сторону от оси эпюры, и отрицательным, если они находятся по разные стороны от этой оси.

Итак, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади ω одной эпюры на ординату y_c второй (обязательно линейной) эпюры, взятой под центром тяжести площади ω.

Важно всегда помнить, что такое «перемножением» эпюр возможно лишь на участке, ограниченном одной прямой той эпюры, с которой берется ордината y_c. Поэтому при вычислении перемещений сечений балок способом Верещагина интеграл Мора по всей длине балки надо заменить суммой интегралов по участкам, в пределах которых эпюра моментов от единичной нагрузки не имеет изломов. Тогда

Рис. 8.30.

Для успешного применения способа Верещагина необходимо иметь формулы, по которым могут быть вычислены площади ω и координаты x_c их центров тяжести. Приведенные в табл. 8.1 данные отвечают только наиболее простым случаям нагружения балки. Однако более сложные эпюры изгибающих моментов допустимо разбивать на простейшие фигуры, площади ω_i, и координаты y_ci которых известны, а затем находить произведение ωy_c для такой сложной эпюры суммированием произведений площадей ω_i ее частей на соответствующие им координаты y_ci. Объясняется это тем, что разложение множимой эпюры на части равносильно представлению функции M_z(x) в интеграле (8.46) в виде суммы интегралов. В некоторых случаях упрощает расчеты построение расслоенных эпюр, т. е. от каждой из внешних сил и пар в отдельности.

Если обе эпюры M_z и M_z¹ линейные, конечный результат их перемножения не зависит от того, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или, наоборот, площадь второй на ординату первой.

Для практического вычисления перемещений по способу Верещагина надо:

1) построить эпюру изгибающих моментов от заданной нагрузки (основная эпюра);

2) снять с балки заданную нагрузку (но сохранить опоры) и приложить в сечение, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу, когда ищется прогиб, или единичную пару, если искомым является угол поворота;

3) построить эпюру изгибающих моментов от единичной нагрузи (единичная эпюра);

4) разбить эпюры от заданных нагрузок на отдельные площади ω_i и вычислить ординаты y_Ci единичной эпюры под центрами тяжести этих площадей;

5) составить произведение ω_iy_Ci и просуммировать их.

Таблица 8.1.

Вид эпюры Mz	Площадь ω	Координата центра тяжести xc
(*) - Эти формулы несправедливы для такого случая нагружения

Пример 8.8

Пример 8.9

Пример 8.10

 Предыдущая  Определение перемещений с помощью способа Верещагина  Следующая