Кроме способов определения перемещений сечений балок, основанных на интегрировании дифференциального уравнения упругой линии, существуют более удобные для практических целей энергетические методы. Одним из них является способ определения прогибов и углов поворотов сечений при упругих деформациях балок с помощью интеграла Мора. Этот интеграл может быть получен различными путями, и, в частности, исходя из условия равенства работы внешних сил А и потенциальной энергии U, накопленной в деформированной балке.
Определим, например, прогиб в точке С оси балки, нагруженной некоторой системой внешних поперечных сил и пар. Для упрощения промежуточных выкладок представим всю эту нагрузку одной сосредоточенной силой Р (рис. 8.27). Обозначим через δPP прогиб балки в точке приложения силы Р, а через δCP - искомый прогиб от этой силы в точке С.
При статическом приложении к балке сила Р произведет работу
.
Потенциальная энергия деформации для первого состояния балки, если пренебречь влиянием перерезывающих сил Q на прогибы, может быть подсчитана по формуле (8.22), т. е.
|
(8.36) |
Составляя баланс энергий A=U, получаем
|
(8.37) |
Поступим далее следующим образом. Снимем с балки всю заданную нагрузку и приложим статически в сечении С в направлении искомого прогиба вспомогательную силу, равную по величине единице измерения силы, например, 1Н. От этой единичной нагрузки в сечениях балки возникнут изгибающие моменты Mz1, а точка C в процессе деформации балки пройдет путь δC1 (см. рис. 8.27). Баланс энергий во втором состоянии балки запишется так
|
(8.38) |
Рис. 8.27
Рассмотрим третье состояние, когда к балке, уже нагруженной вспомогательной единичной силой, прикладывается еще и заданная нагрузка Р (см. рис. 8.27). Эта нагрузка вызовет дополнительные деформации балки, причем согласно принципу независимости действия сил дополнительные прогибы будут такими же, как и в первом из рассмотренных состояний балки, когда она нагружена только силой Р. Поэтому работа внешних сил, если подсчитывать ее в последовательности их приложения,
|
(8.39) |
У последнего слагаемого множитель 1/2 отсутствует потому, что к моменту приложения заданной нагрузки единичная сила достигла уже своего конечного значения и в процессе перемещения δCP величины своей не изменяет (рис. 8.28).
Изгибающие моменты в сечениях балки в ее третьем состоянии равны суммам изгибающих моментов Mz от заданных нагрузок и Mz1 от единичной силы, а потенциальная энергия деформации
|
(8.40) |
Рис. 8.28.
Баланс энергий в третьем состоянии
|
(8.41) |
Учитывая выражения для балансов энергий в первом и втором состояниях, получаем
|
(8.42) |
Чтобы левая часть равенства представляла собой непосредственно искомый прогиб балки, нужно разделить обе части этого равенства на вспомогательную единичную силу или считать ее безразмерной. В обоих случаях получаем для определения прогибов балки выражение
|
(8.43) |
где Mz1 имеет размерность длины.
Задача определения угла поворота сечения С приводит к тому же выражению (8.43). Отличие заключается в том, что в этом случае в сечении С надо прикладывать в направлении искомого углового перемещения единичный момент, а под δCP понимать угол поворота сечения в радианах.
В выражении (8.43) интеграл должен быть распространен на всю длину балки. Если балка имеет п участков с различными аналитическими выражениями для изгибающих моментов Mz(x) и Mz1(x), то в правой части будет стоять сумма интегралов по всем п участкам.
Итак, прогибы и углы поворотов сечений балок могут быть найдены из равенства, называемого интегралом Мора:
|
(8.44) |
где Mz(x) - изгибающий момент в текущем сечении балки от заданной нагрузки; Mz1(x) - изгибающий момент в том же сечении от единичной силы, если ищется прогиб, и единичного момента, если ищется угол поворота сечения.
Для определения Mz1(x) надо снять с балки заданную нагрузку (но не удалять опоры) и приложить в том сечении, перемещение которого ищется, в направлении этого перемещения единичную силу или пару. Моменты Mz(x) и Mz1(x) надо подставлять в интеграл Мора с их знаками. Положительный знак в окончательном выражении означает, что сечение перемещается по направлению приложенной единичной нагрузки, а отрицательный знак показывает, что перемещение происходит в противоположном направлении.