Выше было показано (8.4), (8.5), что касательные напряжения при плоском прямом изгибе зависят только от поперечных сил. Однако, при выводе формулы для касательных напряжений необходимо считаться с наличием изгибающих моментов, так как если Q≠0, то в силу (8.1) и M≠0. В общем случае
,
.
При этом скорость изменения моментов выше, чем скорость изменения поперечных сил. Поэтому, считаясь с приращением моментов, пренебрегаем изменением поперечных сил при переходе от одного к другому бесконечно близкому сечению.
В силу закона парности касательные напряжения возникают не только в поперечных сечениях, но и в продольных сечениях, параллельных нейтральному слою. Поэтому вместо нахождения касательных напряжений, параллельных Q и действующих на уровне y в поперечном сечении, можно определить равные им касательные напряжения, действующие на этом же уровне в продольном сечении (рис. 8.11, 8.12).
Рис. 8.10. К выводу формулы Журавского
Рис. 8.11. К выводу формулы Журавского
Рис. 8.12. К выводу формулы Журавского
Чтобы определить касательные напряжения, действующие в сечении x на уровне y от нейтральной линии, в области этого сечения выделим бесконечно малый элемент балки. Для этого проведем два поперечных сечения 1, 2 (рис. 8.10) и одно продольное сечение, параллельное нейтральному слою и отстоящее от него на расстояние y. На рисунке (8.12) это сечения adm, cen и amnc соответственно.
По сечению adm элемента действуют искомые касательные напряжения τ, параллельные Q и нормальные напряжения
|
|
(8.11) |
.По сечению cen элемента действуют такие же по величине касательные напряжения τ (так как dQ=0) и нормальные напряжения
|
|
(8.12) |
.В сечении amnc действуют касательные напряжения τ/=|τ|, направленные в сторону меньшего нормального напряжения, а нормальные напряжения здесь отсутствуют или пренебрежимо малы.
Составим условие равновесия выделенного элемента в виде суммы проекций всех сил на ось x, предполагая, что касательные напряжения τ, а потому и τ/ по ширине сечения b(y) не меняются
.
После подстановки (8.11), (8.12), получим
|
|
(8.13) |
,где
|
|
(8.14) |
абсолютная величина статического момента той части поперечного сечения, которая лежит ниже или выше уровня y искомых напряжений.
Из (8.13), принимая во внимание (8.1), получим расчетную формулу для касательных напряжений, возникающих в поперечных сечениях при плоском прямом изгибе параллельно Q на уровне y от нейтрального слоя:
|
|
(8.15) |
.Следует помнить, что касательные напряжения (8.15), параллельные Q в общем случае являются только частью полных касательных напряжений (рис. 8.5).