Определения
На рисунке 6.1 изображено произвольное сечение F, отнесенное к некоторой системе координат (y, z), где
- F - величина площади сечения;
- dF - элементарная часть этой площади;
- y, z - координаты элементарной площадки;
- ρ - радиус-вектор y;
- C - центр тяжести площади сечения.
Площадь F, ограниченная произвольной кривой, определяется по формуле:
.
|
(6.1) |
Статические моменты площади F относительно осей y и z определяются по формулам:
.
|
(6.2) |
Размерность статического момента сечения - [м3].
Если известна величина площади F и координаты ее центра тяжести, то Sy, Sz определяются по формулам:
.
|
(6.3) |
Отсюда, если известна площадь и статические моменты, то координаты центра тяжести площади F определяются по формулам:
.
|
(6.4) |
Оси, проходящие через центр тяжести сечения, называются центральными. Относительно любых центральных осей статические моменты сечения равны нулю.
Центр тяжести сечения, имеющего ось симметрии, находится на этой оси.
Осевые моменты инерции площади F определяются по формулам:
.
|
(6.5) |

Рис. 6.1.
Центробежный момент инерции площади F определяется по формуле:
.
|
(6.6) |
Полярный момент инерции (относительно начала координат) площади F определяется по формуле:
.
|
(6.7) |
Так как :
.
|
(6.8) |
Размерность моментов инерции - [м4]. Осевые моменты инерции всегда можно представить как произведения площади фигуры на квадраты некоторых вспомогательных величин, имеющих размерность длины и называемых радиусами инерции. Следовательно, радиусы инерции сечения относительно осей y и z определяются по формулам:
.
|
(6.9) |
Осевые и полярный моменты инерции, представляющие собой пределы сумм положительных величин, всегда положительны, а центробежный момент инерции может быть величиной положительной, отрицательной и равной нулю, так как координаты y и z входят в его выражение в первых степенях.
Из самого смысла выражений для статических моментов и моментов инерции следует, что моменты инерции и статические моменты фигуры относительно каких-либо осей равны суммам соответствующих моментов всех ее частей относительно тех же осей. Это свойство будет использоваться в дальнейшем при расчете сложных сечений, которые можно разбивать на простые фигуры.
Моменты инерции и статические моменты сечения зависят от формы и размеров сечения, а также и от расположения осей координат. Какого-либо геометрического смысла эти величины не имеют. Поэтому формулы (6.1) (6.9) надо рассматривать и как определения этих геометрических характеристик. Названия им даны по формальной аналогии с динамическими моментами инерции тела и моментами сил.
|