Моменты инерции простейших фигур
В расчетной практике часто встречаются сечения в виде простейших фигур (прямоугольников, кругов, треугольников и т. п.) или их комбинаций. При вычислении моментов инерции таких фигур обычно пользуются заранее выведенными расчетными формулами. Рассмотрим некоторые из фигур.
Прямоугольник и параллелограмм (рис. 6.4). Выделим элементарную полоску площадью dF=bdy и подставим это значение dF под знак интеграла (6.5):
|
|
|
|
Рис. 6.4 |
Рис. 6.5 |
 .
Следовательно, момент инерции прямоугольника и параллелограмма с основанием b и высотой h относительно центральной оси, параллельной основанию,
|
 .
|
(6.16) |
Моменты инерции этих фигур относительно осей, проходящих через основание, находим по формуле (6.13):
|
 .
|
(6.17) |
Моменты инерции прямоугольника относительно осей yc и y вычисляются по формулам (6.16) и (6.17), где b заменяется на h, а h на b:
|
 .
|
(6.18) |
|
 .
|
(6.19) |
Треугольник с основанием b и высотой h (рис. 6.5).
Разобьем треугольник на элементарные полоски, параллельные его основанию. Площадь такой полоски
 .
Тогда момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание,
|
 .
|
(6.20) |
Подсчитывая по формулам переноса момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию, получаем
|
 .
|
(6.21) |
Круг и полукруг диаметра d (рис. 6.6). Подсчитываем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса ρ и ρ+dρ элементарное кольцо площадью dF=2πρdρ и вычислим Iy по формуле (6.7):
|
 .
|
(6.22) |
Рис. 6.6.
Обычно размеры круглого сечения выражают через диаметр d и подсчитывают Ip по формуле
|
 .
|
(6.23) |
Осевые моменты инерции круга найдем с помощью соотношения (6.8). Замечая, что в силу симметрии круга Iz=Iy, получаем для осевых моментов инерции круга выражение
|
 .
|
(6.24) |
Центральные оси y и z делят круг на четыре совершенно одинаковые части с равными моментами инерции относительно этих осей. Следовательно, моменты инерции круга и полукруга относительно осей y и z должны быть равны соответственно учетверенным и удвоенным моментам инерции относительно тех же осей одной четверти круга. Из сказанного следует, что моменты инерции полукруга относительно оси симметрии y и оси z, проходящей через его основание (рис. 6.2), будут одинаковы и равны половине момента инерции круга,
|
 ,
|
(6.25) |
а моменты инерции четверти круга
|
 .
|
(6.26) |
|
Предыдущая
