Моменты инерции простейших фигур

В расчетной практике часто встречаются сечения в виде простейших фигур (прямоугольников, кругов, треугольников и т. п.) или их комбинаций. При вычислении моментов инерции таких фигур обычно пользуются заранее выведенными расчетными формулами. Рассмотрим некоторые из фигур.

Прямоугольник и параллелограмм (рис. 6.4). Выделим элементарную полоску площадью dF=bdy и подставим это значение dF под знак интеграла (6.5):

Рис. 6.4

Рис. 6.5

.

Следовательно, момент инерции прямоугольника и параллелограмма с основанием b и высотой h относительно центральной оси, параллельной основанию,

.

(6.16)

Моменты инерции этих фигур относительно осей, проходящих через основание, находим по формуле (6.13):

.

(6.17)

Моменты инерции прямоугольника относительно осей yc и y вычисляются по формулам (6.16) и (6.17), где b заменяется на h, а h на b:

.

(6.18)

.

(6.19)

Треугольник с основанием b и высотой h (рис. 6.5).

Разобьем треугольник на элементарные полоски, параллельные его основанию. Площадь такой полоски

.

Тогда момент инерции треугольника относительно оси, проходящей через основание,

.

(6.20)

Подсчитывая по формулам переноса момент инерции треугольника относительно центральной оси, параллельной основанию, получаем

.

(6.21)

Круг и полукруг диаметра d (рис. 6.6). Подсчитываем сначала полярный момент инерции круга. Для этого выделим в сечении окружностями радиуса ρ и ρ+dρ элементарное кольцо площадью dF=2πρdρ и вычислим Iy по формуле (6.7):

.

(6.22)

Рис. 6.6.

Обычно размеры круглого сечения выражают через диаметр d и подсчитывают Ip по формуле

.

(6.23)

Осевые моменты инерции круга найдем с помощью соотношения (6.8). Замечая, что в силу симметрии круга Iz=Iy, получаем для осевых моментов инерции круга выражение

.

(6.24)

Центральные оси y и z делят круг на четыре совершенно одинаковые части с равными моментами инерции относительно этих осей. Следовательно, моменты инерции круга и полукруга относительно осей y и z должны быть равны соответственно учетверенным и удвоенным моментам инерции относительно тех же осей одной четверти круга. Из сказанного следует, что моменты инерции полукруга относительно оси симметрии y и оси z, проходящей через его основание (рис. 6.2), будут одинаковы и равны половине момента инерции круга,

,

(6.25)

а моменты инерции четверти круга

.

(6.26)



 Предыдущая  Моменты инерции простейших фигур  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line