Главная  Учебные курсы  Сопротивление материалов  Расчет элементов конструкций, движущихся с ускорением  Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце

Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце

Рассмотрим случай вращения тонкостенного кольца (δ<<R) с постоянной угловой скоростью ω вокруг оси, перпендикулярной к плоскости кольца (рис. 14.5, а).

При вращении кольца каждый его элемент движется с центростремительным ускорением j=ω²R. Силы инерции направлены в сторону, противоположную ускорениям, и при постоянном сечении распределены равномерно вдоль кольца. Интенсивность сил инерции, т. е. сила инерции, приходящаяся на единицу длины кольца, q=Fρω²R. Здесь ρ - плотность материала, F - площадь сечения, а R - радиус средней линии кольца.

Кольцо теперь можно рассматривать как неподвижную плоскую раму, нагруженную равномерно распределенными радиальными силами интенсивностью q.

Рассекая кольцо любой диаметральной плоскостью на две части, приложим в сечениях осевые силы N и изгибающие моменты X₁.

Рис. 14.5.

Проектируя все силы, действующие на полукольцо, на направление оси y, получаем

.

Отсюда

.

Подставляя в это выражение значение q, находим

.

Для определения неизвестного X₁ составим каноническое уравнение

,

коэффициенты которого вычислим способом Мора.

Изгибающий момент в текущем сечении полукольца от силы N и распределенной нагрузки q (см. рис. 14.5, б)

,

а от единичной пары M_1j=+1.

Следовательно, δ_1P=0 и поэтому X₁=0, т. е. изгибающие моменты во всех поперечных сечениях кольца равны нулю. Этот результат объясняется тем, что при вращении вокруг центра кольцо сохраняет свою форму и никаких изгибных деформаций не испытывает; увеличивается только его диаметр.

Таким образом, нормальные напряжения в поперечном сечении кольца

Например, в стальном кольце (ρ=7850 кг/м³) радиуса R=50 см при n=2500 об/мин растягивающее напряжение

Итак, напряжения во вращающемся кольце зависят только от окружной скорости v=ωR и плотности материала, но не зависят от площади его поперечного сечения. Поэтому увеличением размеров сечения нельзя уменьшить напряжения в тонкостенном вращающемся кольце.

Рассмотрим теперь случай равномерного вращения тонкостенного кольца вокруг его горизонтальной оси x.

Различные элементы кольца находятся на разных расстояниях от оси вращения, и поэтому силы инерции распределены неравномерно по длине кольца (рис. 14.6, a):

.

Максимальная интенсивность q=ρFω²R. Следовательно,

.

В сечениях вдоль вертикальной оси симметрии кольца будут действовать только изгибающие моменты X₁, а перерезывающие силы Q и нормальные силы N равны нулю. В отсутствии нормальных сил N в этих сечениях легко убедиться, спроектировав все силы, действующие на левое или правое полукольцо, на горизонтальную ось симметрии.

Представим эквивалентную систему, как показано на рис. 14.6,б. Изгибающий момент в текущем сечении кольца от внешней нагрузки

,

а от единичной пары M_1j+1.

Составим каноническое уравнение

,

Коэффициенты δ_1P и δ₁₁ этого уравнения:

;

.

Следовательно,

.

Итак, изгибающий момент в текущем сечении рамы

.

Эпюра изгибающих моментов представлена на рис. 14.7. Опасными являются сечения A и B кольца, так как в этих сечениях кроме изгибающих моментов M=qR²/4 действуют наибольшие растягивающие нормальные силы

.

Максимальные напряжения в раме

,

где W_z - момент сопротивления изгибу, а F - площадь поперечного сечения кольца.

 Предыдущая  Напряжения в тонкостенном вращающемся кольце  Следующая