Плоское напряженное состояние с инженерной точки зрения

Рассмотрим нагруженный номинальным растягивающим напряжением σ тонкий лист с центральной поперечной трещиной, имеющей размер 2a0 (рис. 8.1). Это напряжение можно увеличить до значения σi, при котором трещина начнет медленно расти (см. [1]). Этот медленный рост трещины стабилен: он моментально прекращается, как только нагрузка становится постоянной. Несмотря на то, что трещина теперь длиннее, для поддержания процесса ее распространения требуется большее напряжение. Наконец, при определенном критическом напряжении σc трещина достигает критической длины 2ac; при этом рост трещины становится нестабильным, в результате чего происходит внезапное общее разрушение пластины. Если начальная трещина длиннее, то рост трещины начинается при меньшем напряжении. Разрушающее напряжение такой пластины (остаточная прочность) также более низкое, однако рост трещины происходит медленнее (рис. 8.1).

Рис. 8.1. Параметры остаточной прочности при плоском напряженном состоянии

В первом приближении можно предположить, что все события, происходящие в процессе распространения трещины и разрушения при плоском напряженном состоянии, происходят при определенном значении коэффициента интенсивности напряжений, заданного одним из следующих выражений:

(8.1)

где α — коэффициент, зависящий от геометрии панели и ее размера. В этих выражениях вместо действительного размера трещины a можно использовать эффективный размер трещины a+r*p (r*p — коррекция на зону пластичности), однако, как оказывается, в технических приложениях коррекция на зону пластичности не нужна.

Испытания (см. [1, 2, 3]) показали, что величины K1i, K и Кне являются константами материала, такими, как KIc. Однако в первом приближении они являются константами для данной толщины, для ограниченного диапазона изменения длин трещин и для данного размера панели. Измеренное значение K зависит от размера панели W, как показано на рис. 8.2. Оказывается, величина K меньше для более узких панелей. С увеличением размера панели K постепенно увеличивается, принимая постоянное значение, когда этот размер превышает определенное значение. Это постоянное значение K для больших панелей и является действительным значением K для материала данной толщины. Далее приводится объяснение зависимости величины K от размера панели.

Рис. 8.2. Наблюдаемые значения K и К
как функции ширины панели для двух алюминиевых сплавов [1, 3, 4]

При проектировании конструкций, состоящих из тонких листов, необходимо иметь данные о величинах K для различных толщин. Феддерсеном [5] был предложен метод анализа и представления этих данных, который особенно полезен при проектировании (см [6]). Для панелей, достаточно широких, чтобы при их испытании получить действительное значение K, соотношение между остаточной прочностью и длиной трещины можно представить кривой, изображенной на рис. 8.3. На рисунке также показана прямая линия, представляющая собой пластические деформации истинного сечения пластины: во всех точках этой прямой истинные напряжения в той части образца, через которую не проходит трещина, превышают предел текучести. Заштрихованные области указывают размеры трещин, при которых, для того чтобы вызвать разрушение при данной величине K, необходимо было бы приложить к истинному сечению напряжения, превышающие предел текучести. Поскольку в материале не могут возникнуть напряжения выше предела текучести, разрушение для таких длин трещин произойдет при напряжениях, меньших напряжения, вычисленного с помощью коэффициента K, т. е. измеренное значение вязкости такого образца будет меньше, чем K.

Объяснению этого противоречия было посвящено много теоретических разработок, которые, однако, не смогли собрать все данные воедино и составить цельную картину для всех размеров трещин. Таким образом, на данном этапе остается свести все данные к простой общей форме, пригодной для инженерных приложений. Феддерсен [5] утверждает: для того чтобы провести гладкую и непрерывную кривую остаточной прочности, можно воспользоваться двумя касательными к идеализированной K – кривой (штриховая линия на рис. 8.3). В подтверждение этого предположения он приводит обширные экспериментальные данные. Одна касательная к K – кривой проведена от точки σ = σys, где σys – предел текучести, а другая – от точки 2a = W, где W – ширина образца.

Рис. 8.3. Анализ Феддерсена [5]

Угол наклона касательной к K – кривой в произвольной точке определяется выражением

(8.2)

Отсюда для касательной, проходящей через точку (σys, 0), получаем (рис. 8.3)

(8.3)

Это означает, что независимо от величины K левая точка касания всегда находится на расстоянии 2/3 предела текучести от оси абсцисс. Для касательной, проходящей через точку (0, W), из выражения (8.2) следует, что

(8.4)

Уравнение (8.4) показывает, что правая точка касания определяется общей длиной трещины, равной 1/3 ширины образца. Такие построения применимы ко всем случаям процесса образования трещин при плоском напряженном состоянии, т. е. к величинам K1c, а также K1i и K1e, как показано на рис. 8.4.

Этот метод анализа очень хорошо подтверждается экспериментальными данными, что видно из рис. 8.5. Легко видеть, что величины K1i, K1e и K1c следует определять из тех результатов испытаний, для которых σc < 2/3σys и 2a < W/3, иначе будут получены неверные значения К. Рассмотренные ранее две касательные к K – кривой не имеют серьезного физического обоснования, однако они весьма полезны при инженерных расчетах (см. [6]). Величины K1e и K1c, как оказывается, приблизительно постоянны только для ограниченного диапазона изменения размеров трещин. Но это как раз тот диапазон изменения длин трещин, который представляет наибольший практический интерес. Коррекция на зону пластичности, примененная к длине трещины в случае постоянных значений K1c (см. [5]), на самом деле не улучшает ситуацию, а только излишне усложняет метод расчета.

Гибкость метода Феддерсена состоит в том, что он допускает простое представление данных эксперимента. Простое представление значений K и K позволяет построить полную диаграмму остаточной прочности для любого размера панели, как показано на рис. 8.6, а. Эта кривая определяется выражением для K1c. Касательные к этой кривой проведены от точки (0, σуs) – точка касания лежит на уровне 2/3σys – от точки (2a = W, 0), где W – ширина панели (точка касания лежит на уровне W/3). Существует определенный минимальный размер панели Wmin, при котором обе точки касания совпадают. Для панелей с меньшими размерами остаточная прочность определяется условием текучести истинного сечения. Следовательно, для того чтобы при испытании панели получить истинные значения K1e и K, эта панель должна иметь определенный минимальный размер. Из соотношения следует, что левая точка касания определяется выражением

(8.5)

Рис. 8.4. Метод Феддерсена [5]

Рис. 8.5. Анализ Феддерсена результатов испытаний [8—11] (по данным ASTM)

Условие совпадения двух точек касания получаем в виде (1/3) Wmin = 2a1 или, подставляя сюда уравнение (8.5),

(8.6)

Из этих рассуждений вытекают требования, предъявляемые к испытанию на вязкость разрушения при плоском напряженном состоянии. На самом деле, единые требования предъявляются к длине трещины и к величине напряжения, а именно:

(8.7)

Последнее из этих двух требований можно удовлетворить, выбрав подходящим образом отношение а/W. Если в испытании разрушение происходит при напряжении, меньшем 2/3 σys, то с помощью полученных в нем данных можно вычислить истинное значение K1c. Если σc >2/3σys, то даже для трещин, размер которых 2a = W/3, панель слишком мала. Если для такого испытания вычислить величину K, то результат окажется меньшим, чем действительное значение K1c (штриховая линия, проходящая через точку A, на рис. 8.6, a). Это объясняет вид зависимости полученных из эксперимента значений K1c от размера панели (см. рис. 8.2). Отметьте: если бы в уравнение (8.6) было подставлено это слишком маленькое значение K1c, то было бы получено слишком маленькое значение Wmin и результат испытания мог бы ошибочно считаться верным. Требование к размеру панели заключено в соотношениях (8.7), и таким образом уравнение (8.6) не является выборочным критерием.

Рис. 8.6. Остаточная прочность для различных размеров панелей:
1 — большие значения К1c, малые значения аys;
2 — малые значения К, большие значения аys

Зная истинные значения K1c для сплавов, представленных на рис. 8.2, с помощью уравнения (8.6) можно вычислить соответствующие минимальные размеры панелей. Эти минимальные размеры равны приблизительно 520 мм для сплава 2024 и соответственно 135 и 110 мм для сплава 7075. Кривые на рис. 8.2 показывают, что размер панели, равный 110 мм, для материала из сплава 7075 слишком мал. Причина этого состоит в том, что точное определение величины K1c представляет собой сложную проблему, поскольку измерить критическую длину трещины сложно. При приближении к критическому условию разрушения скорость роста трещины постепенно увеличивается. Следовательно, однозначное определение критической длины трещины затруднено и измерения критической длины носят субъективный характер, имея в основном малую точность. Поэтому величина K1c определяется с большей достоверностью, чем K1e.

Это может показаться до некоторой степени неожиданным, но на самом деле для практики не имеет большого значения. Для неармированной панели остаточную прочность следовало бы определять с помощью коэффициента K1e, поскольку объектом обнаружения является начальная усталостная трещина. С технической точки зрения этот медленный рост трещины до размера 2ac перед разрушением несуществен; имеет значение только величина нагрузки, вызывающей разрушение при данном размере усталостной трещины.

Из приведенного ранее анализа следует сделать заключение, что материалы с высокой вязкостью могут быть более чувствительны к образованию трещин, чем материалы с малой вязкостью, а именно в случае, когда ширина панелей меньше, чем Wmin. Это отражено на рис. 8.6, б. Материал с пределом текучести в точке B обладает большей вязкостью, чем материал с пределом текучести в точке С, следовательно, в больших панелях первый материал обладает большим сопротивлением росту трещины. Однако для панелей, размер которых меньше или равен W6, этот материал обладает меньшим сопротивлением росту трещины, поскольку остаточная прочность его определяется текучестью истинного сечения (сплошная линия BW6 лежит ниже штриховой линии C = W6). Это хорошо известный эффект (см. [7]); его подтверждает пересечение K – кривых на рис. 8.2, полученных при испытании сплавов 2024 и 7075. Следовательно, в узких панелях или конструкциях (например, стрингерах) лучше применять материалы с низкой вязкостью, чем материалы с высокой вязкостью. Однако последние могут обладать более низкими скоростями распространения трещин и тогда применение их окажется все-таки предпочтительнее. Величины K1c и K1e, как было показано в гл. IV, зависят от толщины образца. Недостаточно представить единственный набор значений K1i, K1e и K1c для образцов определенной толщины. Предпочтительнее было бы привести график, подобный тому, что показан на рис. 8.7. Более толстые пластины обладают меньшими значениями K1e и K1c, и при больших толщинах соответствующие им две кривые сливаются (там, где K1c уменьшается до вязкости разрушения KIc, соответствующей плоской деформации).

Рис. 8.7. Влияние толщины на ударную вязкость при плоском напряженном состоянии:
а — сплав Al–Cu–Mg [9]; б — сплав Al–Zn–Mg [4] (по данным ASTM)



 Предыдущая  § 8.2. Плоское напряженное состояние с инженерной точки зрения  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования
Наш сайт работает на Sapid CMS