Концепция R - кривой

Для анализа данных о плоском напряженном состоянии было предложено много других методов. Некоторые из них являются инженерными концепциями, например анализ прочности детали с вырезом Куна и Фигга [12], анализ прочности детали с трещиной, развитый Куном [13], концепция эффективной ширины (см. гл. XVI), предложенная Криклоу [14] и Кристенсеном [15]. Наиболее предпочтителен инженерный метод Феддерсена, поскольку использование коэффициента К дает непосредственную связь с концепциями механики разрушения и поскольку ни один из других методов не позволяет получать лучшие результаты (см. [16, 17]). Наиболее существенным недостатком всех инженерных методов является то, что в них не учитывается процесс медленного стабильного роста трещины, являющегося существенной частью процесса разрушения при плоском напряженном состоянии.

Мак Клинток [18] рассмотрел задачу о медленном стабильном росте трещины на основе анализа плоского напряженного состояния. Этот подход ограничен рассмотрением трещины типа III. В случае неупрочняющихся материалов напряжение в пластической зоне при плоском напряженном состоянии равно пределу текучести. Поскольку напряжение постоянно, процесс разрушения не может зависеть от напряжения. Мак Клинток предполагает, что процесс разрушения определяется величиной деформаций. Распространение трещины происходит, когда деформация на некотором расстоянии c от вершины трещины превышает критическое значение.

Мак Клинток получил выражение для пластической деформации перед трещиной типа III. Если эта деформация превышает критическое значение, то трещина продвигается на da. В результате величина деформации увеличивается на (∂r/∂a)∂σ. Для того чтобы увеличить деформацию на расстоянии р от новой вершины трещины до критического значения, этого увеличения недостаточно. Поэтому процесс роста трещины стабилен; дальнейший рост трещины может произойти только за счет увеличения напряжения, которое приведет к дополнительному увеличению деформации на величину (∂r/∂a)∂σ. Расчеты, проведенные по этому критерию, довольно хорошо совпали с результатами испытаний на распространение трещин типа III (см. [18]).

Другим методом анализа процесса разрушения сколом является концепция, основанная на балансе энергии. Энергетическая концепция может объяснить некоторые типичные явления, которые будут рассмотрены в последних параграфах главы. Согласно энергетической концепции (см. гл. V), во время медленного стабильного роста трещины существует непрерывный баланс между выделяемой и потребляемой энергией. Если этот баланс нарушится, то либо прекратится рост трещины, либо этот процесс роста станет неустойчивым. Следовательно, в процессе медленного стабильного увеличения длины трещины интенсивность выделения энергии будет равна сопротивлению роста трещины:

(8.8)

Величину G во время роста трещины можно измерить, и, как оказывается, для поддержания процесса медленного роста трещины необходимо постоянное увеличение G. Совершенно очевидно, что с продвижением трещины потребление энергии возрастает. Согласно уравнению (8.8), мгновенные значения G во время роста трещины покажут, как R зависит от размера трещины. Оказывается, величина R в процессе медленного роста трещины увеличивается (рис. 8.8). На рис. 8.8 также показаны линии, отражающие зависимость величины G от размера трещины и величины приложенного напряжения.

Рис. 8.8. Энергетический подход в задаче о плоском напряженном состоянии

Во время медленного роста трещины величины G и R в соответствии с уравнением (8.8) изменяются вдоль линии ABC. После увеличения длины трещины LM размер трещины стал равным 2ac. Точка C на рис. 8.8 является точкой нестабильности, предшествующей разрушению, потому что начиная с этого момента величина G изменяется вдоль линии CD и становится больше, чем R. Условие разрушения определяется точкой касания этих кривых:

(8.9)

Уравнения (8.9) являются полезным критерием разрушения, если кроме соотношения G=ps2a/E известно аналитическое выражение для R. Иначе эти уравнения использовать для количественных оценок нельзя. Раджу [19] и Внук [20] предприняли попытку вывести такое выражение на основе теории пластичности, вычисляя интенсивность потребления энергии пластических деформаций в пластической зоне перед трещиной.

Краффтом и др. [21] было высказано предположение о том, что величина R является только функцией Da и не зависит от a0. В этом случае R – кривая инвариантна и имеет одинаковый вид для любой начальной длины трещины. Это предположение было использовано автором [1, 22] для вывода полуэмпирического решения уравнений (8.9). Во многих испытаниях критическая длина трещины пропорциональна начальной длине трещины, т. е.

(8.10)

Это означает, что между отрезками KM и LM (рис. 8.8) существует определенное соотношение, которое одинаково для всех касательных. В этом случае уравнение (8.8) позволяет получить функцию R в явном виде. Рассмотрим рис. 8.9 (имеющий тот же вид, что и рис. 8.8), на котором оси для удобства обозначены через x и у. Касательная к точке (xi, yi) задана соотношением

(8.11)

Рис. 8.9. Вывод уравнения R – кривой

Этим показано, что при у = 0 величина x = x0, следовательно,

(8.12)

Из уравнения (8.10) следует, что

(8.13)

Объединяя уравнения (8.12) и (8.13), получаем

(8.14)

Из уравнения (8.10) следует, что это соотношение должно выполняться для любой точки i; таким образом, уравнение (8.14) есть дифференциальное уравнение кривой, изображенной на рис. 8.9. Его решение имеет вид

(8.15)

или в обозначениях рис. 8.8

(8.16)

где β – константа. Далее известно, что

(8.17)

Уравнения (8.16) и (8.17) позволяют численно разрешить критерий разрушения, определяемый системой уравнений (8.9). Результатом этого решения являются следующие соотношения:

(8.18)

Второе уравнение системы (8.18) вытекает непосредственно из первого, если подставить в него соотношение ac = αa0; оба уравнения получены подстановкой уравнений (8.16) и (8.17) в систему двух уравнений (8.9). Таким образом, уравнения (8.18) показывают, что на самом деле получен результат ac = αa0 и что уравнения (8.18) являются отражением предположения о том, что ac = αa0.

Для α = 1 эти соотношения приводятся к виду σca1/2 = c, которое имеет тот же вид, что и в концепции, связанной с понятием коэффициента K. Для случая σ = 1 сопротивление росту трещины R = β (равняется константе G1c) и процесс медленного роста трещины не возникает [уравнение (8.10)], т. е. α = 1 для хрупких материалов. Уравнения (8.18) можно обобщить (см. [23]) на случай панели конечных размеров.

Далее будет отмечено, что экспериментально R – кривую можно определить двумя различными путями. Прежде всего вид R – кривой можно определить в одном-единственном испытании, зная последовательные значения величины G, которые она принимает во время медленного роста трещины, и используя соотношение R = G = ps2a/E. Обычно результаты испытания записывают на ленту, с помощью которой кривую медленного роста можно определить довольно точно, R – кривую можно также получить, определяя точки нестабильности в ряде испытаний. Совокупность этих точек нестабильности задает вид R – кривой через соотношение

Проверить пригодность уравнений (8.10), (8.16) и (8.18) можно, анализируя данные испытаний. Один и тот же набор данных испытаний должен удовлетворять трем уравнениям для одного и того же значения α. На рис. 8.10 и 8.11 представлены четыре набора данных испытаний для четырех различных толщин листов, выполненных из сплава Al – Zn – Mg (см. [24]). Данные для σc и R нанесены в логарифмическом масштабе; при этом получаются прямые линии, наклон которых определяется коэффициентом α. R – кривые на рис. 8.11 были определены как геометрические места точек нестабильности (второй из рассмотренных ранее методов). Малый разброс значений α показывает, что подход, связанный с понятием R – кривой, непригоден. Использование этой концепции определяется главным образом тем фактом, что с ее помощью можно объяснить некоторые особенности процесса разрушения при плоском напряженном состоянии, как станет ясно в последующих параграфах. Однако для инженерных приложений метод Феддерсена является более удобным и более прямым.

Рис. 8.10. Остаточная прочность алюминиевого сплава [24]:
а — зависимость σc от 2a0 в логарифмическом масштабе по обеим осям;
б — соотношение между критическим и начальным размерами трещины

Рис. 8.11. R – кривые для алюминиевого сплава 7075-Т6

За последнее время интерес к R – кривым снова возрос. Исследовать R – кривые и установить стандартные методы испытаний на определение их вида — задача, стоящая перед специальным комитетом ASTM. В последние годы появилось несколько публикаций (например, [25]), посвященных этому предмету. Результаты, полученные Хейером и Мак Кэйбом [26, 27], указывают на то, что предпочтительнее использовать образцы в виде клиновидной консольной балки. Поскольку из-за уменьшения G нестабильность не наступает, можно определить R – кривую для гораздо больших длин трещин. Тем не менее значение R – кривой до конца еще не ясно.

Гипотеза Краффта и др. [21] о том, что R – кривая инвариантна, т. е. не зависит от начального размера трещины, пока еще не получила общего признания. Некоторые экспериментальные данные подтверждают полезность этой гипотезы, и в ее пользу можно привести некоторые аргументы (см. [21, 28]). Если процесс медленного роста трещины происходит при постоянном уровне значений K, то зона пластичности в начале процесса роста трещины всегда одинакова, поскольку Сначала для продвижения трещины на определенное расстояние требуется одна и та же энергия пластических деформаций, т. е. начальная часть R – кривой инвариантна. Однако это все еще строго не доказано.

До сих пор не существует аналитического представления формы R – кривой. Показано, что она возрастает, но это лишь результат предположения о ее инвариантности. Установлено, что действительная работа разрушения пренебрежимо мала по сравнению с энергией, заключенной в зоне пластичности. Действительная работа разрушения совершается за счет энергии пластических деформаций, содержащейся в чрезвычайно малом объеме материала, непосредственно перед фронтом трещины. Это работа, необходимая для образования и слияния микропустот. Процессы образования и слияния микропустот определяются местным критерием: для образования пустот должны возникнуть достаточно большие напряжения и деформации. Однако в момент выполнения этого местного критерия образуется уже большая зона пластичности. Энергия этой зоны пластичности гораздо больше действительной работы разрушения. Поэтому последней можно пренебречь; таким образом, сопротивление росту трещины определяется энергией, содержащейся в зоне пластичности. Следовательно, если бы трещина расширялась при нулевом напряжении, то для формирования зоны пластичности не потребовалось бы никакой энергии. Другими словами, R – кривая должна начинаться в нулевой точке. Расширение трещины не может произойти, пока напряжения и деформации при вершине трещины не достигли критической величины. Если такое критическое условие выполнено, то к этому моменту уже образовалась большая зона пластичности и величина R существенно отлична от нуля. В этих условиях возможность распространения трещины определяется наличием достаточной энергии для формирования новой зоны пластичности вокруг продвигающейся трещины (см. гл. V).



 Предыдущая  § 8.3. Концепция R - кривой  Следующая 
 
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика
Яндекс цитирования
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика