Главная  Учебные курсы  Механика разрушения  Глава VI. Динамика роста трещины и его торможение  § 6.1. Скорость распространения трещины и кинетическая энергия

Скорость распространения трещины и кинетическая энергия

До сих пор рассматривалась задача о медленном росте трещины и о нестабильности этого процесса перед началом разрушения. В данной главе рассматривается вопрос о поведении трещины после возникновения нестабильности. Нестабильность, предшествующая разрушению, возникает тогда, когда при расширении трещины интенсивность выделения энергии упругих деформаций G постоянно превышает сопротивление росту трещины R. Избыток выделенной энергии (GR) может перейти в кинетическую энергию. Эта кинетическая энергия связана с быстрым движением точек среды по обе стороны от траектории трещины при ее прохождении с большой скоростью. Разница между G и R определяет количество энергии, которое может перейти в кинетическую; следовательно, эта величина определяет скорость, с которой эта трещина будет распространяться в среде. Величины G и R представляют собой энергию, связанную с распространением трещины на Δa. Следовательно, общее количество энергии, которое может перейти в кинетическую энергию, после того как размер трещины увеличится на Δa, определяется интегралом от (GR) на отрезке Δa. Этот интеграл представлен на рис. 6.1 заштрихованной областью.

Изображенный на рис. 6.1 случай основан на трех упрощающих предположениях:

  1. процесс распространения трещины происходит при постоянном напряжении;
  2. интенсивность выделения энергии упругих деформаций не зависит от скорости распространения трещины;
  3. сопротивление росту трещины постоянно.

Что касается третьего предположения, то в предыдущей главе было показано, что во многих случаях величина R есть возрастающая функция, по крайней мере, во время медленного распространения трещины. Этот факт не вносит существенных изменений в основные положения данной главы. Однако на величину R оказывает влияние другое обстоятельство, которым нельзя пренебречь. Сопротивление росту трещины зависит от поведения материала при пластическом деформировании вблизи вершины трещины и его прочностных характеристик. Известно, что эти характеристики зависят от скорости деформирования. Поведение многих материалов зависит от скорости деформирования: при более высоких скоростях деформирования предел текучести увеличивается, а деформация, при которой происходит разрушение, уменьшается. При вершине распространяющейся с большой скоростью трещины скорости деформирования очень велики, поэтому следует ожидать, что при больших скоростях распространения трещины материал будет проявлять больше хрупких свойств. В результате материалы, свойства которых зависят от скорости деформирования, имеют убывающую R – кривую, показанную на рис. 6.1 штриховой линией.

Рис. 6.1. Графическое представление кинетической энергии:
1R – кривая для материалов, свойства которых зависят от скорости деформирования

Второе предположение означает, что решение упругой задачи о статическом поле напряжений применимо и в динамическом случае. В действительности распределения напряжений в этих двух случаях из-за введения членов, зависящих от времени, различны. Этой задаче посвящен § 6.2. А в настоящем параграфе предполагается, что решение статической задачи приблизительно верно и для динамического случая.

Первое предположение о неизменности напряжения несущественно. Ясно, что нестабильный рост трещины происходит при постоянной внешней нагрузке. Так как это является ограничивающим фактором, последующие рассуждения приводят к оценке верхней границы скорости распространения трещины. На практике во время роста трещины величина нагрузки может уменьшаться, что приводит к уменьшению G и, следовательно, к уменьшению значения (G R) при условии, что величина R постоянна.

Основываясь на теории размерностей, Мотт [1] получил выражение для кинетической энергии трещины. Элемент пластины с трещиной, находящийся за вершиной этой трещины, перемещается на расстояния u и ν (см. гл. III), заданные соотношениями

(6.1)

Если вершина трещины передвигается, то выделенный элемент будет от нее удаляться: расстояние r от этого элемента до вершины трещины пропорционально размеру трещины. Следовательно, и перемещения пропорциональны размеру трещины:

(6.2)

Если с течением времени трещина растет, то эти перемещения также увеличиваются. Скорости этого движения соответственно равны:

(6.3)

в соотношении (6.3) точка означает производную по времени. Элемент среды массы т, движущийся со скоростью V, имеет кинетическую энергию mV2/2. Следовательно, кинетическая энергия материала пластины с трещиной, который движется со скоростями и

(6.4)

где r — удельная плотность. Следует заметить, что уравнение (6.4) справедливо для пластины единичной толщины. Подставляя в уравнение (6.4) соотношения (6.3), получим

(6.5)

В случае бесконечной пластины размер трещины а является единственным характерным размером, имеющим размерность длины. Площадь, вдоль которой выполняется интегрирование, должна быть пропорциональна a2. Это означает, что результат интегрирования может быть пропорционален 2, где k — константа:

(6.6)

Кинетическая энергия пропорциональна квадратам размера трещины и напряжения. Совершенно очевидно, что она должна быть пропорциональна удельной массе и квадрату скорости распространении трещины.

Используя рис. 6.1, можно получить другое выражение для кинетической энергии:

(6.7)

Рассматривая случай, когда R — константа, а величина G при постоянном напряжении определяется решением статической задачи, получаем выражение для кинетической энергии

(6.8)

Константа R в начале нестабильного процесса равна GIc (величина которого задана соотношением GIc = πσ2ас/Е). Подставляя в соотношение (6.8) равенство R = GIc и проводя интегрирование, получаем (для двух вершин трещины)

(6.9)

Два выражения (6.6) и (6.9) для кинетической энергии можно приравнять друг к другу, получив

(6.10)

Выражение есть скорость продольных волн в среде, т. е. оно равно скорости звука νs. Значение как оказывается, равно приблизительно 0,38. Уравнение (6.10) описывает рост скорости распространения трещины от нуля при а = ас до верхней границы скорости 0,38νs, когда аcстремится к нулю; это имеет место тогда, когда трещина вырастает достаточно для того, чтобы выполнялось соотношение а >> ас. На рис. 6.2 представлено графическое изображение соотношения (6.10). В работе Берри [3] выполнены подобные вычисления для образцов, имеющих форму двухконсольной балки. То же самое было сделано Хоаглэндом [4]. Интегрирование соотношения (6.7) можно провести и в том случае, если величина R является возрастающей функцией при условии, что эта зависимость R от размера трещины известна. Если для аппроксимации R – кривой принята простая степенная функция (см. гл. VIII), то, как оказывается (см. [5]), результат вычислений все равно приводит к ограничению скорости распространения трещины величиной .

Рис. 6.2. Увеличение скорости роста трещины при увеличении ее размера

Измеренные скорости распространения трещин лежат значительно ниже их теоретических значений, вычисленных с помощью уравнения (6.10). В работе Блама [2] собраны результаты этих измерений. Некоторые из этих данных для трещин в хрупких материалах, полученных Робертсом и Уэлсом [6], приведены в табл. 6.1. Значения лежат в пределах 0,20 — 0,37. Причиной расхождений может быть то, что одно или более одного предположений, сделанных при выводе уравнения (6.10), не были удовлетворены. С другой стороны, анализ Кэннинема [7], в основу которого была положена модель трещины Дагдейла, показывает, что величина для вязких трещин в стальных листах имеет порядок 0,1. Скорости распространения вязких трещин, значения которых приведены в литературе, на самом деле гораздо ниже, чем скорости, приведенные в табл. 6.1. Данные, полученные Кэннинемом и др. [8], а также данные, приведенные на рис. 6.3, указывают на то, что скорость распространения трещины, как и на рис. 6.2, приближается к постоянному значению. Эти данные хорошо согласуются с вычислениями, которые были выполнены Кэннинемом [8] для плоского напряженного состояния. Даффи и др. [9] сообщают о скоростях распространения трещин при вязком разрушении стальных труб, имеющих порядок 200 м/с (), и о скоростях распространения трещин при хрупком разрушении, превышающих эту величину в 3 — 4 раза. В заключение следует сказать, что общей теории, объясняющей динамику развития трещин, пока не существует.

 

Таблица 6.1 Результаты измерений скорости распространения трещин в различных материалах

Материал
Стекло 5200 1500 0,29
Сталь 5000 1000 0,20
Сталь 5000 1400 0,28
Ацетат целлюлозы 1100 400 0,37

Рис. 6.3. Результаты измерений скоростей распространения трещин
в стальной фольге при плоском напряженном состоянии [8]



§ 6.1. Скорость распространения трещины и кинетическая энергия  Следующая 
 
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line