Главная  Учебные курсы  Механика разрушения  Глава VI. Динамика роста трещины и его торможение  § 6.1. Скорость распространения трещины и кинетическая энергия

Скорость распространения трещины и кинетическая энергия

До сих пор рассматривалась задача о медленном росте трещины и о нестабильности этого процесса перед началом разрушения. В данной главе рассматривается вопрос о поведении трещины после возникновения нестабильности. Нестабильность, предшествующая разрушению, возникает тогда, когда при расширении трещины интенсивность выделения энергии упругих деформаций G постоянно превышает сопротивление росту трещины R. Избыток выделенной энергии (G – R) может перейти в кинетическую энергию. Эта кинетическая энергия связана с быстрым движением точек среды по обе стороны от траектории трещины при ее прохождении с большой скоростью. Разница между G и R определяет количество энергии, которое может перейти в кинетическую; следовательно, эта величина определяет скорость, с которой эта трещина будет распространяться в среде. Величины G и R представляют собой энергию, связанную с распространением трещины на Δa. Следовательно, общее количество энергии, которое может перейти в кинетическую энергию, после того как размер трещины увеличится на Δa, определяется интегралом от (G – R) на отрезке Δa. Этот интеграл представлен на рис. 6.1 заштрихованной областью.

Изображенный на рис. 6.1 случай основан на трех упрощающих предположениях:

1. процесс распространения трещины происходит при постоянном напряжении;
2. интенсивность выделения энергии упругих деформаций не зависит от скорости распространения трещины;
3. сопротивление росту трещины постоянно.

Что касается третьего предположения, то в предыдущей главе было показано, что во многих случаях величина R есть возрастающая функция, по крайней мере, во время медленного распространения трещины. Этот факт не вносит существенных изменений в основные положения данной главы. Однако на величину R оказывает влияние другое обстоятельство, которым нельзя пренебречь. Сопротивление росту трещины зависит от поведения материала при пластическом деформировании вблизи вершины трещины и его прочностных характеристик. Известно, что эти характеристики зависят от скорости деформирования. Поведение многих материалов зависит от скорости деформирования: при более высоких скоростях деформирования предел текучести увеличивается, а деформация, при которой происходит разрушение, уменьшается. При вершине распространяющейся с большой скоростью трещины скорости деформирования очень велики, поэтому следует ожидать, что при больших скоростях распространения трещины материал будет проявлять больше хрупких свойств. В результате материалы, свойства которых зависят от скорости деформирования, имеют убывающую R – кривую, показанную на рис. 6.1 штриховой линией.

Рис. 6.1. Графическое представление кинетической энергии:
1 — R – кривая для материалов, свойства которых зависят от скорости деформирования

Второе предположение означает, что решение упругой задачи о статическом поле напряжений применимо и в динамическом случае. В действительности распределения напряжений в этих двух случаях из-за введения членов, зависящих от времени, различны. Этой задаче посвящен § 6.2. А в настоящем параграфе предполагается, что решение статической задачи приблизительно верно и для динамического случая.

Первое предположение о неизменности напряжения несущественно. Ясно, что нестабильный рост трещины происходит при постоянной внешней нагрузке. Так как это является ограничивающим фактором, последующие рассуждения приводят к оценке верхней границы скорости распространения трещины. На практике во время роста трещины величина нагрузки может уменьшаться, что приводит к уменьшению G и, следовательно, к уменьшению значения (G – R) при условии, что величина R постоянна.

Основываясь на теории размерностей, Мотт [1] получил выражение для кинетической энергии трещины. Элемент пластины с трещиной, находящийся за вершиной этой трещины, перемещается на расстояния u и ν (см. гл. III), заданные соотношениями

Если вершина трещины передвигается, то выделенный элемент будет от нее удаляться: расстояние r от этого элемента до вершины трещины пропорционально размеру трещины. Следовательно, и перемещения пропорциональны размеру трещины:

Если с течением времени трещина растет, то эти перемещения также увеличиваются. Скорости этого движения соответственно равны:

в соотношении (6.3) точка означает производную по времени. Элемент среды массы т, движущийся со скоростью V, имеет кинетическую энергию mV²/2. Следовательно, кинетическая энергия материала пластины с трещиной, который движется со скоростями и

где r — удельная плотность. Следует заметить, что уравнение (6.4) справедливо для пластины единичной толщины. Подставляя в уравнение (6.4) соотношения (6.3), получим

В случае бесконечной пластины размер трещины а является единственным характерным размером, имеющим размерность длины. Площадь, вдоль которой выполняется интегрирование, должна быть пропорциональна a². Это означает, что результат интегрирования может быть пропорционален kа², где k — константа:

Кинетическая энергия пропорциональна квадратам размера трещины и напряжения. Совершенно очевидно, что она должна быть пропорциональна удельной массе и квадрату скорости распространении трещины.

Используя рис. 6.1, можно получить другое выражение для кинетической энергии:

Рассматривая случай, когда R — константа, а величина G при постоянном напряжении определяется решением статической задачи, получаем выражение для кинетической энергии

Константа R в начале нестабильного процесса равна G_Ic (величина которого задана соотношением G_Ic = πσ²а_с/Е). Подставляя в соотношение (6.8) равенство R = G_Ic и проводя интегрирование, получаем (для двух вершин трещины)

Два выражения (6.6) и (6.9) для кинетической энергии можно приравнять друг к другу, получив

Выражение есть скорость продольных волн в среде, т. е. оно равно скорости звука ν_s. Значение как оказывается, равно приблизительно 0,38. Уравнение (6.10) описывает рост скорости распространения трещины от нуля при а = а_с до верхней границы скорости 0,38ν_s, когда а_c/а стремится к нулю; это имеет место тогда, когда трещина вырастает достаточно для того, чтобы выполнялось соотношение а >> а_с. На рис. 6.2 представлено графическое изображение соотношения (6.10). В работе Берри [3] выполнены подобные вычисления для образцов, имеющих форму двухконсольной балки. То же самое было сделано Хоаглэндом [4]. Интегрирование соотношения (6.7) можно провести и в том случае, если величина R является возрастающей функцией при условии, что эта зависимость R от размера трещины известна. Если для аппроксимации R – кривой принята простая степенная функция (см. гл. VIII), то, как оказывается (см. [5]), результат вычислений все равно приводит к ограничению скорости распространения трещины величиной .

Рис. 6.2. Увеличение скорости роста трещины при увеличении ее размера

Измеренные скорости распространения трещин лежат значительно ниже их теоретических значений, вычисленных с помощью уравнения (6.10). В работе Блама [2] собраны результаты этих измерений. Некоторые из этих данных для трещин в хрупких материалах, полученных Робертсом и Уэлсом [6], приведены в табл. 6.1. Значения лежат в пределах 0,20 — 0,37. Причиной расхождений может быть то, что одно или более одного предположений, сделанных при выводе уравнения (6.10), не были удовлетворены. С другой стороны, анализ Кэннинема [7], в основу которого была положена модель трещины Дагдейла, показывает, что величина для вязких трещин в стальных листах имеет порядок 0,1. Скорости распространения вязких трещин, значения которых приведены в литературе, на самом деле гораздо ниже, чем скорости, приведенные в табл. 6.1. Данные, полученные Кэннинемом и др. [8], а также данные, приведенные на рис. 6.3, указывают на то, что скорость распространения трещины, как и на рис. 6.2, приближается к постоянному значению. Эти данные хорошо согласуются с вычислениями, которые были выполнены Кэннинемом [8] для плоского напряженного состояния. Даффи и др. [9] сообщают о скоростях распространения трещин при вязком разрушении стальных труб, имеющих порядок 200 м/с (), и о скоростях распространения трещин при хрупком разрушении, превышающих эту величину в 3 — 4 раза. В заключение следует сказать, что общей теории, объясняющей динамику развития трещин, пока не существует.

Таблица 6.1 Результаты измерений скорости распространения трещин в различных материалах

Материал
Стекло	5200	1500	0,29
Сталь	5000	1000	0,20
Сталь	5000	1400	0,28
Ацетат целлюлозы	1100	400	0,37

Рис. 6.3. Результаты измерений скоростей распространения трещин
в стальной фольге при плоском напряженном состоянии [8]

§ 6.1. Скорость распространения трещины и кинетическая энергия  Следующая