J - интеграл

До сих пор лишь предполагалось, что зона пластичности при вершине трещины настолько мала, что применима теория упругости. Если это так, то пластические деформации при вершине трещины не оказывают влияния на интенсивность выделения энергии и величина G определяется упругим полем напряжений. Можно показать (см. [18]), что если зону пластичности при вершине трещины не считать пренебрежимо малой, то она будет оказывать влияние на интенсивность выделения энергии.

Для того чтобы точно вычислить влияние пластических деформаций на величину G, нужно получить точное решение упругопластической задачи о поле напряжений при вершине трещины. Такое решение пока не получено, однако существует косвенный метод, в основе которого лежит J – интеграл, определяемый выражением (см. [19])

(5.27)

где Γ — замкнутый контур, который нужно обойти против часовой стрелки, окружающий в напряженном твердом теле некоторую область (рис. 5.18); Т — вектор напряжений, перпендикулярный контуру Г и направленный во внешнюю сторону, Ti = σij nj; u — перемещение в направлении оси x; ds — элемент контура Γ. Кроме того,

(5.28)

что является энергией деформаций единицы объема. Можно показать (см. [19]), что если G — замкнутый контур, то J = 0.

Рис. 5.18. Определение J – интеграла

Райс [19] применил этот интеграл к задачам о трещине. Рассмотрим замкнутый контур ABCDEFA вокруг вершины трещины (рис. 5.19, а). Интеграл по этому контуру равен нулю. Поскольку на частях берегов трещины CD и AF значения T = 0 и dy=0, их вклад в интеграл равен нулю. Поэтому интеграл по контуру ABC должен быть равен (с обратным знаком) интегралу по контуру DEF. Это означает, что независимо от того, берется ли J – интеграл по контуру ABC или FED, результат будет один и тот же: интеграл не зависит от пути интегрирования, т. е. JΓ1 = JΓ2 (рис. 5.19, 6). Обратите внимание на то, что этот интеграл, не зависящий от пути интегрирования, берется не по замкнутому контуру: пределы интегрирования лежат на краях трещины.

Рис. 5.19. Контур обхода вершины трещины

Для упругого случая J – интеграл можно вычислить, используя решение упругой задачи о поле напряжений. Отсюда следует (см. [19]), что

(5.29)

Райсом было показано [19], что вычисление интеграла (5.29) приводит к соотношению

(5.30)

Совершенно очевидно, что для упругого случая J – интеграл эквивалентен интенсивности выделения энергии. Райс также показал, что, вообще говоря,

(5.31)

где V — потенциальная энергия. В упругом случае уравнения (5.30) и (5.31) эквивалентны.

Другими словами, J есть обобщенная функция выделения энергии за счет распространения трещины; эта функция может быть также справедлива и в том случае, когда вблизи вершины трещины имеются значительные пластические деформации. Поскольку J – интеграл не зависит от пути интегрирования, его можно определить менее сложным путем, выбирая путь интегрирования, вдоль которого интегрирование можно выполнить достаточно просто (т. е. вдоль краев образца). Таким образом, интеграл дает возможность сравнительно просто определять интенсивность выделения энергии для случая, когда при вершине трещины имеется большая зона пластичности. Можно ожидать, что существует критическое значение JIc, при котором может начаться рост трещины. Так как это должно иметь силу и в упругом случае, то отсюда следует, что

(5.32)

Уравнение (5.32) утверждает, что процесс роста трещины, связанный с большими пластическими деформациями, можно определить из JIc, зная значение GIc, которое было определено для случая, когда пластическими деформациями можно пренебречь, и наоборот.

Согласно уравнению (5.31), J – интеграл можно найти из диаграммы «нагрузка — перемещение», точно так же как и в упругом случае, определяя податливость образца. Отличие заключается в том, что в результате пластичности на диаграмме «нагрузка — перемещение» может иметь место нелинейный участок. Этот факт схематически отображен на рис. 5.20, а. Площадь между двумя кривыми, связывающими нагрузку с перемещением для трещин, имеющих размеры a и a + da, равна (∂V/∂a) da, т. е. эта площадь равна J. Кривые, связывающие нагрузки и перемещения в образце, можно получить экспериментально, последовательно увеличивая размер трещины, а площадь между двумя кривыми для трещин с мало отличающимися размерами — определить графически. Полученные таким образом значения J можно построить как функцию v или а (рис. 5.20, б). Определяя значение v при разрушении для трещин различных размеров, из рис. 5.20, б можно выяснить, происходит ли разрушение во всех случаях при одинаковом значении J.

Рис. 5.20. Экспериментальное определение J – интеграла:
1 — упругие деформации; 2 - жесткопластические деформации

Подобные эксперименты были выполнены Биглеем и Лэндисом [20, 21]; некоторые из результатов экспериментов представлены на рис. 5.21. Они обнаружили, что разрушение действительно происходит при постоянном значении JIc, которое было равно GIc, определенной независимо. Аналогичные результаты были получены Кобаяши и др. [24].

При использовании J – интеграла требования, предъявляемые к размерам образца и его толщине, не такие строгие, как в случае тестов на определение GIc или KIc. В последнем случае пластические деформации при вершине трещины должны быть сравнительно малы, а поэтому размеры трещины и образца должны быть большими (см. гл. VII).

Рис. 5.21. Значение константы J1c
для образца (сталь Ni–Cr–Mo–V при t=1196°)
с центральной трещиной [80] (по данным АSТМ)

При использовании J – интеграла требование ограниченности пластических деформаций можно опустить. Вообще говоря, это позволяет определять JIc (а также, следовательно, JIc) из испытаний образца малых размеров. Однако метод J – интеграла должного развития все еще не получил.

Метод представляется наиболее многообещающим в тех случаях, когда возникают большие пластические деформации (т. е. при плоской деформации). Однако в этих случаях перед разрушением идет медленный рост трещины. В процессе медленного роста трещины за ее вершиной происходит разгрузка материала. До сих пор независимость J – интеграла от пути интегрирования была доказана только при использовании теории пластических деформаций (см. [19, 22, 23]), которая не предусматривает разгрузку материала. Поэтому в настоящее время критерий разрушения, основанный на использовании J – интеграла, следует применять лишь к процессу зарождения трещин. Кроме того, до сих пор не существует методики использования J – интеграла для описания процесса стабильного роста трещины.

Примечание. Кобаяши и др. [24] с помощью инкрементальной теории пластического течения провели исследование задачи о росте трещины.



 Предыдущая  § 5.5. J - интеграл
 
Наш сайт работает на Sapid CMS
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line