Интенсивность выделения энергии

Энергетический критерий разрушения Гриффитса [1, 2] гласит: рост трещины может иметь место в том случае, если система может выделить энергию, необходимую для образования дополнительной трещины с размером dа. В гл. I был рассмотрен случай пластины с неподвижными краями. В этом случае внешняя нагрузка не может совершить никакой работы. Поэтому энергия, необходимая для роста трещины, должна быть передана за счет освобождения упругой энергии. Если края пластины во время расширения трещины могут свободно перемещаться, то внешняя нагрузка совершает работу. В этом случае упругая энергия, накопленная в пластине, не уменьшается, а увеличивается.

Для пластины единичной толщины условие роста трещины можно записать в виде

(5.1)

где U – содержащаяся в пластине упругая энергия; P — работа, совершаемая внешней силой; W – энергия, необходимая для образования трещины. По аналогии с гл. I, G = d(FU)/da есть «интенсивность выделения энергии», или «сила раскрытия трещины», а R = dW/da – сопротивление росту трещины.

Рассмотрим пластину толщины В, на которую действует нагрузка Р, как показано на рис. 5.1. Под действием нагрузки точки приложении силы перемещаются относительно друг друга на расстояние. При увеличении размера трещины на это относительное перемещение увеличивается на . Следовательно, совершенная внешними силами работа будет равна Pdν. Отсюда следует, что

(5.2)

где В – толщина пластины [отметим, что уравнение (5.1) записано для пластины единичной толщины], а Ut – полная упругая энергия, запасенная в пластине толщины В. Деформации считаем упругими. В отсутствие роста трещины перемещение v пропорционально нагрузке: v = CP, где C – податливость пластины (величина, обратная ее жесткости). Для пластины без трещины, имеющей длину L, ширину W и толщину В, податливость С = L/(WBE) где Е – модуль Юнга. Упругая энергия, заключенная в пластине (с трещиной),

(5.3)

Используя уравнение (5.3), можно вычислить величину, определяемую выражением (5.2), откуда получим (см. [3, 4])

(5.4)

Члены с dP/dа сокращаются. Это означает, что величина G не зависит от того, является нагрузка постоянной или нет:

(5.5)

Величина G всегда равна производной от упругой энергии (однако знак этой величины при различных условиях нагружения различен: при постоянной нагрузке U увеличивается, а при неподвижных зажимах U уменьшается).

Рис. 5.1. Пластина с трещиной

Величину G можно также получить графически. Для трещины размера а (упругая) диаграмма «нагрузка — перемещение» представлена на рис. 5.2 линией ОА. Для трещины длиной а + соотношение между нагрузкой и перемещением представлено линией ОЕ. Пусть увеличение размера трещины от а до а + происходит при нагрузке P1. Если края пластины остаются неподвижными, то перемещение остается постоянным, а нагрузка уменьшается по линии AB. Это означает, что выделение упругой энергии представлено треугольником ОАВ.

Рис. 5.2. Диаграмма «нагрузка-перемещение»

Если расширение трещины происходит при постоянной нагрузке, то происходит относительное перемещение ее краев на величину Δν. Совершенная нагрузкой работа есть РΔν, что равно площади AEFC. Заключенная в пластине упругая энергия увеличивается при этом от OAC до OEF. Прирост этой энергии равен площади треугольника OAE. Эта энергия должна быть равна работе, совершенной нагрузкой. Поскольку площадь, очерченная фигурой AEFC, вдвое превосходит площадь треугольника OAE, остается энергия, равная площади OAE.

Пренебрегая маленьким треугольником AEB, получаем, что OAB = OAE. Это означает, что в обоих случаях для роста трещины высвобождается одинаковая энергия.

В случае неподвижных зажимов энергия высвобождается за счет уменьшения упругой энергии пластины. При постоянной нагрузке источником этой энергии является работа внешней нагрузки. В обоих случаях результаты одинаковы, и поэтому величину G можно вычислить, зная закон изменения упругой энергии. По этой причине величину G называют интенсивностью выделения упругой энергии.

Поскольку G есть интенсивность выделения упругой энергии, она должна быть пропорциональна σ2/Е. Эта величина равна энергии, приходящейся на единицу распространения трещины, следовательно, она должна быть равна энергии пластины, деленной на ее длину и на толщину (G есть величина, приходящаяся на единицу толщины). Поэтому величина G пропорциональна длине:

(5.6)

где С — константа, а λ — характерная длина. В бесконечной пластине с краевой трещиной длины а или с центральной трещиной длины 2а единственным характерным размером является величина а. Для одной вершины трещины С = π;. Индекс I при G означает разрывающий тип нагрузки.

Из уравнения (5.6) следует, что для плоского напряженного состояния GI = KI2/E. Это соотношение можно получить и иным путем. Рассмотрим бесконечную пластину с неподвижными краями, содержащую трещину длины а. Силы, приложенные к краям трещины (рис. 5.3) и достаточные для того, чтобы закрыть трещину на бесконечно малом расстоянии δ, совершат определенную работу. Эта работа равна энергии, выделяемой при расцеплении краев трещины (см. [5]).

Из рис. 5.3 следует, что

(5.7)

Необходимость коэффициента 2 определяется тем, что в трещине есть верхний и нижний края. Двойка в знаменателе учитывает тот факт, что напряжения увеличиваются от нуля.

Рис. 5.3. Закрытие трещины при ее вершине

Если начало системы координат лежит в центре трещины, то из гл. III следует, что

(5.8)

Замечая, что x = r + аδ, и пренебрегая членами второго порядка малости, получаем

(5.9)

Кроме того, известно, что

(5.10)

Подставляя соотношения (5.9) и (5.10) в уравнение (5.7), можно выполнить интегрирование:

(5.11)

Полагая в соотношении (5.11) r/δ = sin2φ, получаем:

(5.12)

Аналогично можно показать, что для трещин типов II и III

(5.13)

Суммарную интенсивность выделения энергии при распространении трещин смешанного типа легко получить, складывая эти величины для различных типов трещин:

(5.14)

Используя уравнения (5.12) и применяя корректировочные коэффициенты для К, учитывающие конечность размеров (см. гл. III), можно определить величину G для пластин с конечными размерами.



§ 5.1. Интенсивность выделения энергии  Следующая 
 
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line