Поправка Ирвина на пластичность

Из рассмотренных в предыдущей главе решений упругих задач о распределении напряжений в окрестности вершины трещины следует, что в этой области напряжения сингулярны. На практике же материалы (в частности, металлы) обычно имеют предел текучести; при напряжениях выше этого предела материалы испытывают пластические деформации. Из этого следует, что в металлах, в окрестности вершины трещины, всегда имеется область, в которой возникают пластические деформации, и, следовательно, напряжения не могут быть сингулярными. Эту область называют пластической зоной при вершине трещины. Получить грубую оценку для размера зоны пластичности как для плоского деформированного, так и для плоского напряженного состояния несложно. В этом параграфе ограничимся рассмотрением случая плоского напряженного состояния.

На рис. 4.1 показано распределение напряжений σу в плоскости θ = 0. В этой плоскости в точках, расстояние от которых до вершины трещины меньше чем r*р, напряжение превышает предел текучести σys. В первом приближении данное расстояние можно считать равным размеру зоны пластичности. Подставляя величину σys в выражение для σу, получаем расстояние r*р:

(4.1)

Совершенно очевидно, что в действительности размер зоны пластичности больше чем r*р: график зависимости σу от r должен также покрывать и ту часть нагрузки, которая на рисунке изображена в виде заштрихованной области. Этого можно достичь в том случае, если в материале непосредственно перед зоной пластичности возникают несколько большие напряжения, превышающие предел текучести.

Рис. 4.1. Первая оценка размера зоны пластичности

Ирвином [1, 2] было показано, что наличие пластичности приводит к тому, что трещина ведет себя так, будто ее длина больше, чем на самом деле. В результате пластических деформаций в окрестности вершины трещины перемещения в этой области больше, а жесткость меньше, чем в упругом случае. Иными словами, пластина ведет себя так, будто в ней имеется трещина несколько большего размера. Эффективная длина трещины aэфф = а + δ, где а — физический размер трещины, а δ — поправка. Выражение для δ получить несложно.

На рис. 4.2 трещина размера а заменена более длинной трещиной с размером а + δ и приведено распределение упругих напряжений σy при вершине этой эффективной трещины. Как и прежде, напряжение при вершине этой трещины ограничено пределом текучести σуs. Напряжение на участке δ рассматриваемой области перед действительной трещиной равно пределу текучести. Поэтому величина δ должна быть достаточно большой, чтобы покрыть часть нагрузки, потерянную тогда, когда из графика упругого распределения напряжений была отброшена область А (рис. 4.2). Следовательно, площадь А равна площади В. Расстояние λ на рис. 4.2 находится следующим образом:

(4.2)

Рис. 4.2. Вторая оценка размера зоны пластичности

Поскольку по сравнению с размером трещины величина δ мала, то ею можно пренебречь; отсюда следует, что λ ≈ r*р заданному соотношением (4.1). Площадь В равна σуsδ, следовательно, условие В = A приводит к зависимости

(4.3)

Пренебрегая величиной δ по сравнению с a и используя соотношение (4.2), получим

(4.4)

Следовательно,

(4.5)

т. е. размер зоны пластичности вдвое превышает первую оценку r*р.

Поскольку δ = r*р, то выходит, что трещина ведет себя так, будто ее длина равна а + r*р. Величина r*р называется поправкой Ирвина на пластичность. Полагая пока, что зона пластичности имеет форму круга, приходим к выводу, что в нашем случае трещину можно представить так, как это сделано на рис. 4.3, где эффективная трещина доходит до середины зоны пластичности. Если проводить коррекцию на зону пластичности последовательно, то необходимо также внести поправку в величину K:

(4.6)

Рис. 4.3. Поправка Ирвина на пластичность

Использование уравнения (4.6) сопряжено с некоторыми трудностями, поскольку для определения К, здесь необходимо применить итерационный процесс. Последнего можно избежать, если для вычисления r*р положить а скорректированную величину K затем определить из уравнения (4.6). И, наоборот, для заданного K можно найти нескорректированное значение напряжения из соотношения что позволяет определить r*р. После этого скорректированное значение напряжения определяется по формуле На практике для величины К коррекция на зону пластичности применяется редко. Коррекцию на зону пластичности в том виде, в котором она задана соотношением (4.1), в случае плоской деформации применять неудобно (см. § 4.5).

Коррекция на зону пластичности полезна при рассмотрении вопроса о раскрытии трещины (РТ). В гл. III было показано, что раскрытие трещины

(4.7)

здесь x принимает значение, равное а в вершине трещины. Если при вершине трещины возникают пластические деформации, то происходит «притупление» этой вершины и раскрытие трещины при ее вершине (КРТ) может быть отличным от нуля, тогда как из соотношения (4.7) следует, что при x = а значение КРТ = 0. Применяя коррекцию на зону пластичности к уравнению (4.7), получим следующее выражение:

(4.8)

из которого следует, что при x = а

(4.9)

как показано на рис. 4.3. Достоинства уравнения (4.9) рассмотрены в гл. IX.



§ 4.1. Поправка Ирвина на пластичность  Следующая 
 
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line