Главная  Учебные курсы  Механика разрушения  Глава IV. Пластическая зона при вершине трещины  § 4.4. Плоское напряженное состояние и плоская деформация

Плоское напряженное состояние и плоская деформация

Даже в том случае, когда внутри пластины налицо условие возникновения плоской деформации, на поверхности ее всегда возникает плоское напряженное состояние. В направлении, перпендикулярном внешней поверхности, не действуют никакие напряжения, следовательно, на этой поверхности σz = σ3 = 0. Если деформация внутренней части пластины происходит в основном в одной плоскости, то во внутренней ее части напряжение σ3 постепенно увеличивается от нуля (на поверхности пластины) до величины, определяемой плоским деформируемым состоянием (см. [24]). Таким образом, зона пластичности постепенно уменьшается от размера, определяемого плоским напряженным состоянием, до размера, соответствующего плоской деформации, как это схематически проиллюстрировано на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Пространственное изображение зоны пластичности

Напряженное состояние влияет на размер зоны пластичности. С другой стороны, размер зоны пластичности также оказывает влияние на напряженное состояние. Значительные перемещения, возникающие в зоне пластичности, приводят к тому, что в эту область поступает материал из всех прилегающих областей. Когда зона пластичности велика по сравнению с толщиной пластины, может возникнуть свободная текучесть в глубь пластины (рис. 4.11, а). На рис. 4.11, а показано сечение зоны пластичности в случае, когда по всему сечению пластины имеет место плоское напряженное состояние. Когда зона пластичности очень мала, свободное течение в глубь пластины возникнуть не может: εz остается равным нулю из-за ограничивающего действия окружающего упругого материала. Из этого можно сделать вывод, что малой зоне пластичности соответствует плоская деформация, а большой — плоское напряженное состояние.

Рис. 4.11. Связь между размером зоны пластичности и напряженно-деформированным состоянием:
а — размер зоны пластичности по порядку величины равен толщине пластины;
б — зона пластичности малого размера;
в — зона пластичности промежуточного размера;
В — толщина; 1 — свободная текучесть; 2 — ограниченная текучесть

Отношение размера зоны пластичности к толщине является существенным фактором, определяющим напряженно-деформированное состояние. Если размер зоны имеет тот же порядок, что и толщина пластины, т. е. если rp/B стремится к единице, то может образоваться плоское напряженное состояние. Для того чтобы в большей части внутренней области пластины возникло плоское деформированное состояние (чтобы область плоского напряженного состояния вблизи поверхности пластины распространялась только на сравнительно небольшую часть внутренней области), это отношение должно быть существенно меньше единицы. Экспериментально было показано (см. гл. VII), что поведение материала при разрушении сколом является типичным для плоской деформации, если rp/B порядка 0,025. Размер зоны пластичности пропорционален KI2/σys2. При большой интенсивности напряжения и низком пределе текучести возникает большая зона пластичности. Поэтому для того, чтобы в материале с низким пределом текучести и высокой прочностью (когда возможна высокая интенсивность напряжения) установилось преимущественно плоское деформированное состояние, требуется большая толщина, чем в низкопрочном материале с высоким пределом текучести. По этой причине для испытаний материалов на вязкость разрушения с низким σys и высоким КIc необходимы пластины соответственно большей толщины (см. гл. VII).

Чтобы исследовать различные деформативные свойства материалов при плоском напряженном состоянии и при плоской деформации, рассмотрим круги Мора для трещин типа I, изображенные на рис. 4.12. Прежде всего отметим, что при θ = 0 напряжения σу и σx являются главными напряжениями σ1 и σ2. Поперечное напряжение σ2 всегда является главным напряжением σ3. При плоском напряженном состоянии максимальное касательное напряжение τmax возникает в плоскостях, повернутых относительно направлений σ1 и σ3 на угол 45°. Если σ1 = σу и σ3 = σz = 0 (плоское напряженное состояние, θ = 0), то эти плоскости проходят через ось х и составляют с плоскостью xz угол 45°, как показано на рис. 4.12, б.

Рис. 4. 12. Плоскости максимального касательного напряжения для значений θ, близких к нулю:
a — плоское напряженное состояние; б — плоская деформация

Пластическая деформация, которая внешне проявляется как сдвиг, возникает под действием касательных напряжений. Следовательно, для различных плоскостей максимальных касательных напряжений внешний вид деформаций будет различным. На рис. 4.13 отображено два случая. Скольжение вдоль плоскостей, проходящих через ось x и повернутых относительно поверхности пластины на 45°, приводит к образованию сдвиговой деформации типа 45°, характерной для плоского напряженного состояния (рис. 4.13, а). Скольжение вдоль плоскостей, параллельных оси z, приводит к образованию деформации шарнирного типа (см. [20]), характерной для плоского деформированного состояния (рис. 4.13, б).

Рис. 4.13. Внешний вид деформаций

В этой связи следует отметить, что в плоскости θ = 0, строго говоря, σ1 = σ2 = σ3 (это следует из уравнений теории упругости при ν = 0.5), вследствие чего τmax = 0. Если θ слабо отличается от нуля, то справедливы следующие рассуждения. Легко видеть, что в этом случае τmax для различных углов θ принимает различные значения и ни одно направление не определяет плоскость с максимальными касательными напряжениями. Обычно τmax определяют по формуле τmax = σ1/2 для плоского напряженного состояния и τmax = (σ1σ3)/2 — в большей части зоны пластичности при плоской деформации. Подставляя в приведенные формулы выражения (4.18) для главных напряжений и проводя дифференцирование по θ, получаем угол θ, при котором касательное напряжение достигает своего максимального значения (τmax)max. Определив направления главных осей σ1 и σ2 в этой точке, можно найти плоскость, в которой действует максимальное касательное напряжение. Поскольку напряжение σ3 всегда направлено вдоль оси z, плоскости максимального касательного напряжения при плоской деформации всегда перпендикулярны поверхности пластины, но могут составлять с плоскостью xz угол, отличный от 45°.



 Предыдущая  § 4.4. Плоское напряженное состояние и плоская деформация  Следующая 
 
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line