Коэффициент ограничения на пластичность
При плоской деформации зона пластичности значительно меньше, чем при плоском напряженном состоянии, по той причине, что при плоской деформации эффективный предел текучести превышает предел текучести в одноосных испытаниях. Максимальное напряжение в зоне пластичности при плоской деформации может в три раза превышать одноосный предел текучести. Отношение максимального напряжения к пределу текучести называется коэффициентом ограничения на пластичность (p. c. f.):
|
(4.22) |
величина p. c. f. × σys называется эффективным пределом текучести. Величину p. c. f. для задачи о трещине при плоской деформации можно оценить следующим образом. Полагая σ2 = nσ1 и σ3 = тσ1, перепишем условие текучести Мизеса (4.17) в виде

|
(4.23) |
что можно привести к следующему виду:
|
(4.24) |
Уравнение (4.24) дает возможность вычислить p. c. f. в любом месте области при вершине трещины. Из уравнений (4.18), описывающих поле напряжений, следует, что n = (1 – sinθ/2)/(1 + sinθ/2) и m = 2ν/(1 + sinθ/2). В плоскости θ = 0, как оказывается, n = 1, а m = 2ν; полагая ν = 1/3, из уравнения (4.24) p. c. f. = 3. Подобные же результаты получаются при использовании других условий текучести. В случае плоского напряженного состояния п = 1, а m = 0, что приводит к следующей оценке: p. c. f. = 1.
Легко видеть, что при плоской деформации напряжение σу, перпендикулярное плоскости θ = 0, может превышать предел текучести в три раза. При пластическом деформировании вершина трещины притупляется. Так как напряжения, перпендикулярные свободной поверхности, должны быть равны нулю, то в непосредственной близости от вершины трещины σx должно стремиться к нулю, В этом случае σ2 = 0, т. е. налицо плоское напряженное состояние. Следовательно, p. c. f. должен уменьшиться до единицы, а напряжение при вершине трещины не должно превышать предела текучести. Получающиеся в результате этих рассуждений распределения напряжений показаны на рис. 4.14. В случае плоского деформированного состояния напряжение на не очень большом расстоянии от трещины быстро возрастает от σys непосредственно в вершине трещины до 3σys. Это подтверждается расчетами, проведенными методом конечных элементов (см. [25]). Измеренные и вычисленные распределения напряжений и деформаций в зоне пластичности можно найти в литературе [17, 19, 25—30], однако полного упругопластического анализа задачи о трещине пока еще не существует.
Рис. 4.14 дает возможность еще раз убедиться в том, что в плоскости у = 0 зона пластичности в случае плоского напряженного состояния в девять раз больше, чем при плоской деформации (сравните с рис. 4.5). Зная коэффициент ограничения на пластичность, можно получить коэффициент коррекции на зону пластичности для плоской деформации, подобно тому как это было сделано в § 4.1. Если эффективный предел текучести при плоской деформации равен 3σys, то коррекция на зону пластичности, заданная соотношением (4.1), принимает вид
|
(4.25) |
Практически на поверхности образца деформация не является плоской. Вследствие этого средний коэффициент ограничения па пластичность значительно меньше трех. В работе Ирвина [2] используется при этом соотношение (4.25) принимает вид
Рис. 4.14. Приблизительный вид распределений напряжений и деформаций при плоском напряженном состоянии (а) и плоской деформации (б)
Практически на поверхности образца деформация не является плоской. Вследствие этого средний коэффициент ограничения па пластичность значительно меньше трех. В работе Ирвина [2] используется при этом соотношение (4.25) принимает вид
|
(4.26) |
Эта величина составляет только одну треть коррекции на зону пластичности для плоского напряженного состояния. Если возникает необходимость в коррекции на зону пластичности для плоской деформации, то обычно применяют уравнение (4.26).
Экспериментально определенные коэффициенты ограничения на пластичность (например, в [31]) лежат в основном в пределах от 1,5 до 2, что подтверждает полезность уравнения (4.26). Косвенно экспериментальный метод позволяет определять коэффициенты ограничения на пластичность с помощью измерений относительных перемещений краев трещины. Согласно уравнению (4.8), РТ при x = 0 определяется следующим соотношением:
|
(4.27) |
Поскольку величины σ, а и КI в каждом конкретном случае известны, то, измеряя величину РТ, можно с помощью уравнения (4.27) вычислить среднее значение p. c. f. Методика измерения РТ рассмотрена в гл. VII и IX.
|