Форма зоны пластичности

До сих пор рассматривался вопрос о протяженности зоны пластичности только вдоль оси x — в x–направлении, и для простоты временно было сделано предположение о том, что зона пластичности имеет форму круга. Более точное представление о форме этой зоны можно получить, рассматривая условие текучести для углов θ, отличных от нуля (см. [9, 10]). При этом обычно применяют условие текучести Треска или Мизеса. По условию Треска, текучесть наступает, когда максимальное касательное напряжение τmax превышает предел текучести при сдвиге σуs/2. Условие текучести Мизеса в главных напряжениях задано соотношением

(4.17)

где σys — предел текучести в одноосных испытаниях. При испытании на растяжение σ2 = σ3 = 0, откуда следует, что текучесть наступает при σ1 = σys.

Уравнения, описывающие поле напряжений при вершине трещины в главных осях, были получены в (3.55) гл. III:

(4.18)

На плоскости θ = 0 главные напряжения равны между собой и действуют в направлении осей x и у; напряжение σy является главным. Для плоского напряженного состояния σ3 = 0 и τmax = σ1/2. Следовательно, тот размер зоны пластичности, который был получен в § 4.1, действительно определяет зону пластичности как по условию текучести Треска, так и по условию текучести Мизеса.

Границу зоны пластичности как функцию θ можно найти, подставляя уравнения (4.18) в соотношения (4.17). Таким образом, получим:

(4.19)

Зависимость расстояния от вершины трещины до границы зоны пластичности можно представить в следующем виде:

(4.20)

Если предположить в уравнении для плоского напряженного состояния θ = 0, то действительно получится соотношение (4.1).

Граница зоны пластичности в том виде, как она задана уравнениями (4.20), изображена в безразмерном виде на рис. 4.5. Зона пластичности для плоской деформации заметно меньше зоны пластичности в случае плоского напряженного состояния: из уравнений (4.20) следует, что при θ = 0 и ν = 1/3 их размеры отличаются друг от друга в девять раз. Поэтому корректировочный коэффициент на зону пластичности, заданный соотношением (4.1), в случае плоской деформации неприменим (см. § 4.5).

Рис. 4.5. Формы зон пластичности,
получающиеся в результате применения условий пластичности Мизеса и Треска:
а — критерий Мизеса; 6 — критерий Треска; 1 — плоская деформация; 2 — плоское напряженное состояние

Если используется условие текучести Треска, то форма зоны пластичности получается несколько иной. С помощью кругов Мора находим, что максимальное касательное напряжение в случае плоского напряженного состояния τmax = σ1/2, а в случае плоской деформации τmax = (σ1 - σ3)/2 или τmax = (σ1 - σ2)/2 в зависимости от того, что больше. С помощью уравнений (4.18) получаем зону пластичности Треска в следующем виде:

(4.21)

Уравнения (4.21) позволяют определить форму зоны пластичности Треска, как показано на рис. 4.5, б. Зоны Треска имеют несколько большие размеры и другую форму по сравнению с зонами Мизеса.

Аналогичным образом можно проанализировать трещины типов II и III. Формы зон пластичности для этих типов трещин изображены на рис. 4.6, причем в основу положено условие текучести Мизеса [8].

Рис. 4.6. Формы зон пластичности для трещин типов II и III [8] (по данным ASTM):
1 — плоское напряженное состояние; 2 — плоская деформация; 3 — трещина

При получении границ зон пластичности, изображенных на рис. 4.6, была сделана та же ошибка, что и при выводе соотношения (4.1): при ограничении напряжения величиной, равной пределу теку чести, необходимо нагрузить материал вдоль предполагаемой границы дополнительно. Исправить положение для случая, описываемого соотношением (4.1), не так просто. Этого можно достигнуть, проведя более точный анализ зон пластичности с помощью методов релаксации (см. [11]). Такой анализ был проведен Стимпсоном и Итоном [12]. Хальт и Мак Клинток [13, 14, 15] проанализировали случай трещины типа III. Позднее подобные исследования выполнили Тьюба [16], а также Раис и Розен-грин [17]. Результаты их исследований представлены на рис. 4.7. По Тьюба, наиболее удаленная точка границы зоны пластичности лежит под углом θ = 69°, как показано на рисунке для различных значений отношения σ/σуs. При таком угле возникают максимальные касательные напряжения, что можно видеть из рис. 4.7, б. Райсом и Розенгрином [17] было показано, что пластическая зона слабо зависит от степени механического упрочнения, но наиболее удаленная точка зоны всегда находится под углом 100°, как видно из рис. 4.7, б.

Рис. 4.7. Более точные формы зон пластичности в трещине типа I:
а — по данным Тьюба [16]; б — по данным Раиса и Розенгрина [17];
rP (θ=0)=0,007(K/σys)2; rP (θ=100°)=0,24(K/σys)2
Коэффициент упрочнения по деформациям равен 0,05

Несмотря на большой прогресс, достигнутый в этой области, действительные размер и форма зоны пластичности до сих пор еще точно не установлены. Важной задачей является экспериментальная проверка результатов аналитических выкладок. Несколькими исследователями [18, 19] была сделана попытка измерить форму зоны пластичности. В подобной работе могут быть использованы поверхностные реплики, фотоупругие покрытия, муаровые картины и другая технология. Проблемы возникают при анализе данных этих экспериментов, поскольку упругие и пластические деформации не так легко (или вообще невозможно) различить, а также потому, что измерения обычно проводятся на поверхности образца. Хан и Розенфильд [20 — 22] сделали попытку обойти эти трудности, используя технологию травления. Выбирая соответствующие материалы и реактивы для травления, во всех кристаллических зернах можно вытравить отдельные дислокации и линии скольжения. Таким образом, можно выделить область пластического течения. По реакции реактива можно также до некоторой степени получить количественные данные о величине деформаций. С помощью поперечных разрезов образцов можно исследовать области, лежащие под поверхностью.

Хан и Розенфильд [22] пришли к заключению, что ни одно из теоретических построений не описывает форму зоны пластичности достаточно точно. Наиболее удаленные точки границы зоны пластичности описаны довольно точно, как можно видеть из рис. 4.8. Как оказалось, ни один из существующих теоретических методов не дает точной оценки размера зоны пластичности при θ = 0. Из микроснимков, представленных Ханом и Розенфильдом, явствует, что форма зоны пластичности более всего походит на ту, которая была предсказана Тьюба (рис. 4.7, а). Это более или менее подтверждает рис. 4.9, на котором приведена зона пластичности в случае плоского напряженного состояния, которая стала видна в результате перемещений поверхности и полученного вследствие этого отклонения падающего света (см. [23]).

Рис. 4.8. Измеренные и вычисленные размеры зон пластичности

Рис. 4.9. Форма области больших сдвиговых деформаций в зоне пластичности
при плоском напряженном состоянии:
а — усталостная трещина при нулевом напряжении;
б — начало процесса распространения трещины под действием квазистатической нагрузки
(соответствующие точки отмечены одинаковыми буквами). Сплав Al—Cu—Mg



 Предыдущая  § 4.3. Форма зоны пластичности  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования