Специальные случаи

Поскольку уравнения, описывающие поля напряжений вблизи всех трещин типа I, имеют одинаковый вид, коэффициент интенсивности напряжений для ряда нагружающих систем можно получить простым сложением:

(3.32)

То же самое справедливо для трещин типов II и III. Для трещин смешанного типа такая суперпозиция недопустима (см. гл. V).

Принцип суперпозиции может быть использован в некоторых случаях для получения коэффициентов интенсивности напряжений. В качестве примера рассмотрим трещину под внутренним давлением. На рис. 3.6, а изображена пластина без трещины, нагружаемая одноосным полем растягивающих напряжений. Поскольку трещины в этой пластине нет, то коэффициент интенсивности напряжений КIa = 0. Сделаем в пластине разрез длиной 2а. Это можно сделать, если напряжения, которые первоначально передавались на поверхность разреза материалом" пластины, заменить на напряжения, приложенные к краям разреза извне (рис. 3.6, б, где KIб = 0). Система (б) представляет собой суперпозицию пластины с центральной трещиной под действием одноосного растяжения у и пластины с трещиной, нагруженной внутренними распределенными силами σ (в и г). Отсюда следует, что

(3.33)

Случай трещины под внутренним давлением эквивалентен системе, изображенной на рис. 3.6, г; давление же при этом должно быть направлено в сторону, противоположную σ. Поэтому знак K меняется па противоположный, т. е.

(3.34)

есть коэффициент интенсивности напряжений для трещины под внутренним давлением p.

Трещина под действием точечных сил, действующих на ее берегах, также имеет большое практическое значение (например, при рассмотрении вопроса о зарождении трещины в болтовом или заклепочном отверстии под действием болта). Эта задача может быть решена с помощью функций Грина [4]. Общее решение для несимметрично расположенной точечной силы, изображенной на рис. 3.7, задано формулами

(3.35)

где KIA и KIB — коэффициенты интенсивностей деформаций соответственно в вершинах A и B. Для центральной сосредоточенной силы (x = 0) эти соотношения принимают вид

(3.36)

(заметим, что P — это сила, приходящаяся на единицу толщины пластины). Из уравнения (3.36) следует, что с увеличением размера трещины интенсивность напряжений в ней уменьшается. При этом появляется возможность торможения трещины через некоторое время после того, как она начала распространяться при KIA = KIc, поскольку с ростом трещины интенсивность напряжений становится меньшей значения KIc.

Рис. 3.7. Трещина под действием расклинивающих сил

С помощью принципа суперпозиции теперь можно получить коэффициент интенсивности напряжений для трещины, которая зарождается в нагруженном заклепочном отверстии. Отверстие должно быть мало по сравнению с трещиной, в противном случае следует использовать модифицированные выражения для K (см. гл. XIV).

В соответствии с рис. 3.8 этот случай можно рассматривать как суперпозицию трех других:

(3.37)

Рис. 3.8. Образование трещины в нагруженном заклепочном отверстии

Поскольку, как легко видеть, KIa = KIг, интенсивность напряжений задается выражением

(3.38)

Случай трещины под внутренним давлением можно также получить из уравнений (3.35). Это дает возможность проверить уравнение (3.34). Внутреннее давление можно представить в виде множества случайным образом расположенных точечных сил. Поэтому величину K получим, проводя интегрирование вдоль трещины. Точечная сила, действующая в интервале а < х < 0, вносит свой вклад также и в интенсивность напряжений в точке A, следовательно,

(3.39)

Интегрирование можно выполнить с помощью подстановки x = a cos φ. Решение имеет вид

(3.40)

что действительно совпадает с уравнением (3.34).



 Предыдущая  § 3.5. Специальные случаи  Следующая 
 
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line