Специальные случаи
Поскольку уравнения, описывающие поля напряжений вблизи всех трещин типа I, имеют одинаковый вид, коэффициент интенсивности напряжений для ряда нагружающих систем можно получить простым сложением:
|
(3.32) |
То же самое справедливо для трещин типов II и III. Для трещин смешанного типа такая суперпозиция недопустима (см. гл. V).
Принцип суперпозиции может быть использован в некоторых случаях для получения коэффициентов интенсивности напряжений. В качестве примера рассмотрим трещину под внутренним давлением. На рис. 3.6, а изображена пластина без трещины, нагружаемая одноосным полем растягивающих напряжений. Поскольку трещины в этой пластине нет, то коэффициент интенсивности напряжений КIa = 0. Сделаем в пластине разрез длиной 2а. Это можно сделать, если напряжения, которые первоначально передавались на поверхность разреза материалом" пластины, заменить на напряжения, приложенные к краям разреза извне (рис. 3.6, б, где KIб = 0). Система (б) представляет собой суперпозицию пластины с центральной трещиной под действием одноосного растяжения у и пластины с трещиной, нагруженной внутренними распределенными силами σ (в и г). Отсюда следует, что
|
(3.33) |
Случай трещины под внутренним давлением эквивалентен системе, изображенной на рис. 3.6, г; давление же при этом должно быть направлено в сторону, противоположную σ. Поэтому знак K меняется па противоположный, т. е.
|
(3.34) |
есть коэффициент интенсивности напряжений для трещины под внутренним давлением p.
Трещина под действием точечных сил, действующих на ее берегах, также имеет большое практическое значение (например, при рассмотрении вопроса о зарождении трещины в болтовом или заклепочном отверстии под действием болта). Эта задача может быть решена с помощью функций Грина [4]. Общее решение для несимметрично расположенной точечной силы, изображенной на рис. 3.7, задано формулами
|
(3.35) |
где KIA и KIB — коэффициенты интенсивностей деформаций соответственно в вершинах A и B. Для центральной сосредоточенной силы (x = 0) эти соотношения принимают вид
|
(3.36) |
(заметим, что P — это сила, приходящаяся на единицу толщины пластины). Из уравнения (3.36) следует, что с увеличением размера трещины интенсивность напряжений в ней уменьшается. При этом появляется возможность торможения трещины через некоторое время после того, как она начала распространяться при KIA = KIc, поскольку с ростом трещины интенсивность напряжений становится меньшей значения KIc.
Рис. 3.7. Трещина под действием расклинивающих сил
С помощью принципа суперпозиции теперь можно получить коэффициент интенсивности напряжений для трещины, которая зарождается в нагруженном заклепочном отверстии. Отверстие должно быть мало по сравнению с трещиной, в противном случае следует использовать модифицированные выражения для K (см. гл. XIV).
В соответствии с рис. 3.8 этот случай можно рассматривать как суперпозицию трех других:
|
(3.37) |
Рис. 3.8. Образование трещины в нагруженном заклепочном отверстии
Поскольку, как легко видеть, KIa = KIг, интенсивность напряжений задается выражением
|
(3.38) |
Случай трещины под внутренним давлением можно также получить из уравнений (3.35). Это дает возможность проверить уравнение (3.34). Внутреннее давление можно представить в виде множества случайным образом расположенных точечных сил. Поэтому величину K получим, проводя интегрирование вдоль трещины. Точечная сила, действующая в интервале а < х < 0, вносит свой вклад также и в интенсивность напряжений в точке A, следовательно,
|
(3.39) |
Интегрирование можно выполнить с помощью подстановки x = a cos φ. Решение имеет вид
|
(3.40) |
что действительно совпадает с уравнением (3.34).
|