Решение задач о трещине

Рассмотрим задачу о трещине типа I (рис. 3.1). На рисунке изображена бесконечная пластинка, находящаяся в двухосном напряженном состоянии. В этом случае функция напряжений имеет вид

(3.13)

Рис. 3.1. Трещина типа I в двухосном растягивающем поле напряжений

Эта функция аналитична всюду, за исключением области (–ax a, y = 0). Граничные напряжения получаются из соотношений (3.12). В бесконечности при |z|→∞ эти формулы дают σx =σy =σ и τxy = 0 — это означает, что граничные условия удовлетворены.

Удобнее перейти к системе координат с началом в вершине трещины, заменив при этом z на (z + a). Переходя к задаче общего вида (рис. 3.2), в которой граничные условия еще не удовлетворены, получим функцию Z вида

(3.14)

Рис. 3.2. Задача общего вида о трещине типа I

где f (z) — достаточно гладкая функция, принимающая в начале координат постоянное вещественное значение. Тогда в соответствии с уравнениями (3.12) величины σу и τxy на поверхности трещины равны нулю, т. е. кромки трещины свободны от напряжений. Требуемое вещественное и постоянное значение f (z) в вершине трещины обозначим через КI, откуда

(3.15)

Переходя к полярной системе координат, связанной с началом координат исходной системы (рис. 3.2), и полагая z = re из уравнений (3.12) и (3.15) вычисляем напряжения, возникающие вблизи вершины трещины:

(3.16)

Величина — σ, как показано Си [6], Эфтисом и Либовицем [7], получается в случае одноосного растяжения, если функция Вестергарда применяется корректно; она не оказывает никакого влияния на сингулярные члены.

Для плоского напряженного состояния σz = 0; для плоской деформации σz = n(σx + σy). Параметр КI в этих уравнениях называется коэффициентом интенсивности напряжений. При r>0 (непосредственно в вершине трещины) напряжения становятся бесконечными. Поэтому коэффициент интенсивности является мерой сингулярности напряжений в вершине трещины. Здесь рассматриваются упругие напряжения, пропорциональные внешней нагрузке. В случае одноосного растяжения, когда напряжения в бесконечности становятся равными σ, коэффициент КI пропорционален σ. Чтобы обеспечить требуемую размерность в выражениях для напряжений (3.16), величина КI должна быть также пропорциональна корню квадратному из длины. Для бесконечной пластинки единственной характерной длиной является размер трещины, следовательно, величину КI следует представить в виде

(3.17)

Возвращаясь к частному случаю двухосного растяжения на рис. 3.1, рассмотрим функцию напряжений, заданную соотношением (3.13). Перенеся начало координат в вершину трещины, получим уравнение (3.13) в виде

(3.18)

Сравнение уравнений (3.15) и (3.18) показывает, что

(3.19)

Поскольку можно считать, что поле напряжений, параллельных трещине, не претерпевает возмущений вблизи трещины, решение для одноосного случая должно быть таким же, как и в случае двухосного напряженного состояния. Следовательно, коэффициент c в уравнении (3.17) для пластины, находящейся под действием одноосного растяжения, равен .

Перемещения точек пластины можно определять независимо от напряжений. Из уравнений (3.2) и (3.12) следует, что для плоского деформированного состояния

(3.20)

что приводит к соотношениям

(3.21)

Уравнения (3.16) для поля напряжений являются точным решением в окрестности вершины трещины (r ≈ 0). Их можно использовать в области, где r мало по сравнению с размером трещины. В общее решение следует включить также слагаемые функции f (z) высших порядков. Общее решение имеет вид

(3.22)

или

(3.23)

Коэффициент r0 обеспечивает приближение σх и σу к внешнему напряжению σ на большом расстоянии от трещины. В окрестности вершины трещины членами высших порядков можно пренебречь, а уравнения (3.16) записать следующим образом:

(3.24)

Общий анализ, выполненный с помощью рис. 3.2 и уравнения (3.14), показывает, что поля напряжений вокруг вершины трещины типа I всегда имеют одинаковую форму. Остается только для заданной конфигурации определить КI.

Сходную процедуру можно применить для анализа задач о трещинах типов II и III. Соответствующие решения можно найти в [4, 7].

Эти решения для типа II имеют такой вид:

(3.25)

Для бесконечной пластины с трещиной, которая на бесконечном расстоянии от трещины находится в состоянии однородного плоского сдвига,

(3.26)

Аналогично, для трещины типа III

(3.27)

Коэффициенты интенсивности напряжений были вычислены для многих конфигураций. Методика таких вычислений рассмотрена в гл. XIII.



 Предыдущая  § 3.3. Решение задач о трещине  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика