Комплексные функции напряжений
Определим комплексную функцию вида
|
|
(3.7) |
Для того чтобы функция z была аналитической, ее производную dZ/dz следует определять однозначно. Это условие приводит к соотношениям Коши—Римана:
|
|
(3.8) |
Для решения задач о трещине можно использовать несколько видов комплексной функции Эри [2—9]. Для трещин первого типа удобно использовать функцию, предложенную Вестергардом [3]. Си [б], а также Эфтисом и Либовицем [7] было показано, что функция Вестергарда не вполне корректна, что, однако, не влияет на результат, поскольку рассматриваются сингулярные составляющие напряжений.
Функция Вестергарда имеет вид
|
|
(3.9) |
где  и  заданы соотношениями
|
|
(3.10) |
Отсюда с учетом соотношений Коши—Римана (3.8) следует, что
|
|
(3.11) |
это означает, что функция (3.9) автоматически удовлетворяет уравнению (3.6).
Используя уравнения (3.4), выразим напряжения через функцию Z:
|
|
(3.12) |
Напряжения в форме (3.12) определяются любой аналитической функцией Z (z). Остается найти функцию Z (z), которая удовлетворяет также граничным условиям рассматриваемой задачи. Си [6], а также Эфтисом и Либовицем [7] было отмечено, что если используется корректная функция Вестергарда, то к уравнениям (3.12) следует добавить постоянные слагаемые. Эти слагаемые исчезают только для специальных условий нагружения и не оказывают влияния на сингулярные составляющие напряжений.
|
Предыдущая
