Главная  Учебные курсы  Механика разрушения  Глава III. Упругое поле напряжений при вершине трещины  § 3.2. Комплексные функции напряжений

Комплексные функции напряжений

Определим комплексную функцию вида

Для того чтобы функция z была аналитической, ее производную dZ/dz следует определять однозначно. Это условие приводит к соотношениям Коши—Римана:

Для решения задач о трещине можно использовать несколько видов комплексной функции Эри [2—9]. Для трещин первого типа удобно использовать функцию, предложенную Вестергардом [3]. Си [б], а также Эфтисом и Либовицем [7] было показано, что функция Вестергарда не вполне корректна, что, однако, не влияет на результат, поскольку рассматриваются сингулярные составляющие напряжений.

Функция Вестергарда имеет вид

где и заданы соотношениями

Отсюда с учетом соотношений Коши—Римана (3.8) следует, что

это означает, что функция (3.9) автоматически удовлетворяет уравнению (3.6).

Используя уравнения (3.4), выразим напряжения через функцию Z:

Напряжения в форме (3.12) определяются любой аналитической функцией Z (z). Остается найти функцию Z (z), которая удовлетворяет также граничным условиям рассматриваемой задачи. Си [6], а также Эфтисом и Либовицем [7] было отмечено, что если используется корректная функция Вестергарда, то к уравнениям (3.12) следует добавить постоянные слагаемые. Эти слагаемые исчезают только для специальных условий нагружения и не оказывают влияния на сингулярные составляющие напряжений.

 Предыдущая  § 3.2. Комплексные функции напряжений  Следующая