Комплексные функции напряжений
Определим комплексную функцию вида 
| (3.7) |
Для того чтобы функция z была аналитической, ее производную dZ/dz следует определять однозначно. Это условие приводит к соотношениям Коши—Римана: 
| (3.8) |
Для решения задач о трещине можно использовать несколько видов комплексной функции Эри [2—9]. Для трещин первого типа удобно использовать функцию, предложенную Вестергардом [3]. Си [б], а также Эфтисом и Либовицем [7] было показано, что функция Вестергарда не вполне корректна, что, однако, не влияет на результат, поскольку рассматриваются сингулярные составляющие напряжений. Функция Вестергарда имеет вид 
| (3.9) |
где  и  заданы соотношениями 
| (3.10) |
Отсюда с учетом соотношений Коши—Римана (3.8) следует, что 
| (3.11) |
это означает, что функция (3.9) автоматически удовлетворяет уравнению (3.6). Используя уравнения (3.4), выразим напряжения через функцию Z: 
| (3.12) |
Напряжения в форме (3.12) определяются любой аналитической функцией Z (z). Остается найти функцию Z (z), которая удовлетворяет также граничным условиям рассматриваемой задачи. Си [6], а также Эфтисом и Либовицем [7] было отмечено, что если используется корректная функция Вестергарда, то к уравнениям (3.12) следует добавить постоянные слагаемые. Эти слагаемые исчезают только для специальных условий нагружения и не оказывают влияния на сингулярные составляющие напряжений.
|
Предыдущая
