Функция напряжений Эри

Рассмотрим систему координат x, у, z в твердом теле, находящемся в напряженном состоянии. В каждой точке можно определить напряжения σx, σу, σz, τxy, τxz, τyz. В случае плоского напряженного состояния σz = τxz = τyz = 0. В случае плоской деформации εz = 0, откуда следует, что σz = υ(σx + σу).

Для плоских задач уравнения равновесия имеют вид (см. также рис. 6.4)

(3.1)

Если перемещениями в направлениях x и y являются соответственно величины u и v, то деформации выражаются через них следующим образом:

(3.2)

а соотношения между напряжениями и деформациями имеют такой вид:

(3.3)

где модуль сдвига μ связан с модулем Юнга Е выражением μ = E/[2(1 + υ)], в котором υ — коэффициент Пуассона.

Уравнения равновесия (3.1) автоматически удовлетворяются, если

(3.4)

Функция ψ называется функцией напряжений Эри. Подставляя уравнения (3.2) и (3.4) в (3.3) и выполняя двукратное дифференцирование получим уравнение совместности:

(3.5)

или

(3.6)

В общем случае задача линейной упругости о плоском деформированном состоянии может быть решена, если известна функция ψ, которая удовлетворяет уравнению (3.6). Напряжения, вычисленные из соотношений (3.4), должны также удовлетворять граничным условиям задачи. Функция напряжений для той или иной конкретной задачи может быть выбрана при наличии соответствующего опыта. Этот материал подробно изложен в любом учебнике по теории упругости (например, [1]).



§ 3.1. Функция напряжений Эри  Следующая 
 
Яндекс цитирования
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика