Эллиптические трещины

На практике трещины часто зарождаются в углах и на краях тел. Такие трещины распространяются преимущественно внутрь тела и принимают форму четверти или половины эллипса. Для того чтобы применять положения механики разрушения к «угловым трещинам» (четверть эллипса), а также к «поверхностным выемкам» и «полусквозным трещинам» (половина эллипса), необходимо знать коэффициенты интенсивности напряжений для трещин с искривленным фронтом. Эта проблема, имеющая большое значение в технике, подробно освещена в литературе [14—26]. Далее рассматривается широко используемое приближенное решение.

Снеддоном [14] была исследована задача о внутренней трещине округлой формы, которая находится в бесконечно протяженном твердом теле под действием однородного растяжения (рис. 3.9). Автор пришел к заключению, что

(3.41)

Рис. 3.9. Внутренняя трещина округлой формы

Задача о внутренней раковине эллиптической формы точного решения не имеет, однако на основе поля напряжений вокруг эллиптической полости, полученного Грином и Снеддоном [16], а также Ирвином [15], было выведено полезное соотношение. Точно так же как в случае сквозных трещин, перемещения, полученные из этого решения, были выражены через коэффициент интенсивности напряжений. В результате, по Ирвину,

(3.42)

Здесь Φ — эллиптический интеграл второго рода, заданный отношением

(3.43)

где a и c можно определить из рис. 3.10. Если a = c, то уравнение (3.42), как и следовало ожидать, приводится к уравнению (3.41). Значения Φ находят из математических таблиц или из графика на рис. 3.11. Величину Φ можно представить в виде ряда:

(3.44)

3. 10. Эллиптическая трещина

Рис. 3.11. Параметр поверхностной раковины

Даже при значениях а/с, близких к нулю, третий член в квадратных скобках дает вклад лишь 5%, поэтому в большинстве случаях им пренебрегают, что приводит к формулам

(3.45)

(3.46)

Соотношения (3.42) и (3.46) с очень небольшими изменениями можно применить к полуэллиптическим поверхностным выемкам и к угловым трещинам, имеющим форму четверти эллипса (рис. 3.12). Поэтому эти соотношения представляют собой большой практический интерес. Величина КI, как выяснилось, меняет свои значения вдоль фронта трещины. На конце малой оси эллипса (φ = π/2) интенсивность напряжений максимальна; на конце большой оси (φ = 0) она принимает наименьшее значение. Поэтому

(3.47)

Обычно к этим выражениям величины K добавляют ряд корректировочных коэффициентов. Поверхностная раковина сопоставима с краевой трещиной; было показано [см. (3.31)], что соответствующую ей величину К следует изменить с помощью корректировочного коэффициента примерно на 12 %. Эта корректировка называется корректировкой на тыльную свободную поверхность. Для того чтобы учесть тот факт, что в вершине трещины развиваются пластические деформации, часто применяется корректировка на зону пластичности (см. гл. V). Наличие пластических деформаций приводит к тому, что трещина ведет себя так, будто она немного длиннее, чем на самом деле. По этой причине коррекция на зону пластичности является коррекцией размера трещины:

(3.48)

Рис. 3.12. Угловая трещина, имеющая форму четверти эллипса, в кронштейне из высокопрочной стали (а);
поверхностные полуэллиптические выемки в образцах для испытания на разрушение (б);
эллиптическая трещина в коленчатом валу авиационного двигателя (в)

Полагая (см. гл. V)

(3.49)

получаем окончательное выражение для K в виде

(3.50)

Максимальная интенсивность

(3.51)

Величина называется параметром формы раковины. Значения Φ для различных отношений σ/σys представлены графически на рис. 3.11.

Наконец, часто нужна корректировка для учета близости свободной поверхности к фронту трещины. Для этой коррекции можно воспользоваться формулой (3.28). Однако предпочтительнее использовать коррекцию на близость свободной поверхности к фронту трещины Кобаяши и др. [17], которая приведена в графической форме на рис. 3.13. Отсюда следует, что максимальная интенсивность напряжений для поверхностной раковины

(3.52)

где Mк — корректировочный коэффициент, учитывающий близость свободной поверхности к фронту трещины и определяемый из рис. 3.13.

Рис. 3.13. Коррекция Кобаяши, учитывающая близость свободной поверхности к фронту трещины

В случае, когда полуэллиптическая раковина распространяется глубоко внутрь материала, корректировочный коэффициент учета тыльной свободной поверхности следует уменьшить до единицы. В случае трещины, имеющей форму четверти эллипса, коррекцию на тыльную свободную поверхность следует применить дважды. Однако оказывается, что в этом случае коррекция становится слишком большой. Поэтому для угловой трещины величину корректировочного коэффициента на тыльную свободную поверхность выбирают равной 1,2.

Предыдущие соотношения для поверхностных раковин были получены непосредственно из решения задачи о внутренней эллиптической полости (см. [15]). В работах Раиса [18], а также Раиса и Леви [19] проведен прямой анализ задачи о поверхностной трещине. Полученные ими окончательные уравнения приведены к такому виду, чтобы из них можно было получить численные значения величины K, которые особенно полезны, поскольку в этих работах рассмотрен случай изгиба. Часть этих результатов приведена на рис. 3.14, а, б. Оказывается, для неглубоких трещин (отношение 2c/B велико) величина коэффициента интенсивности напряжений приближается к его значению для краевой трещины (2c→∞). Такой же результат получается из уравнения (3.52), поскольку при а/(2с) = 0 значение Q = 1. Коэффициенты интенсивности напряжений при изгибе были также вычислены Грандтом и Синклером [20]. Вышеприведенные рассуждения служат иллюстрацией к изменению коэффициента интенсивности напряжений вдоль фронта трещины поверхностной раковины. Информацию о коэффициентах интенсивности напряжений для эллиптических трещин можно найти в [17—26].



 Предыдущая  § 3.6. Эллиптические трещины  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования