Метод конечных элементов

Метод конечных элементов нашел широкое применение для определения полей напряжений при вершине трещины. Этот метод чрезвычайно универсален, поскольку позволяет анализировать инженерные конструкции со сложной геометрией (болтовые и сварные конструкции), дает возможность исследовать трехмерные задачи, а также допускает использование упругопластических элементов для учета пластичности при вершине трещины. Аппроксимации конечными элементами весьма перспективны для решения многочисленных инженерных задач о трещинах.

Полное исследование основ и приложений метода конечных элементов провел Зенкевич [13]. В данном методе непрерывная (упругая) среда (с бесконечным количеством степеней свободы) заменяется на конечное количество структурных элементов конечных размеров, соединяющихся друг с другом только в узловых точках (см. рис. 13.1 и 13.3). Силы взаимодействия этих элементов передаются только через посредство этих узловых точек. В данной задаче неизвестными являются перемещения узлов.

Предполагается, что внутри каждого элемента перемещения можно представить простой функцией координат, хотя можно также использовать и более сложные функции. В плоской задаче единственными перемещениями являются перемещения u и v, и в простейшем случае в пределах элемента их можно представить линейными функциями координат, например u = ах + by + с и v = ex + fy + g. Во многих случаях выбирают треугольную форму элемента, имеющую три узловые точки в углах треугольника. Перемещения узловых точек есть u1, u2, u3 и v1, v2, v3. Такие узловые перемещения должны также удовлетворять принятым уравнениям, описывающим перемещения и и v. Для выполнения этого требования должна иметь решение система из шести уравнений относительно шести неизвестных — с а по g. Это решение даст нам выражение данных констант через u1,…, ν3 и координаты узлов, что даст возможность выразить все перемещения внутри элемента через перемещения узловых точек.

Сделанное предположение гарантирует сплошность среды между соседними элементами: линейно изменяющиеся перемещения на линии раздела двух элементов для обоих элементов будут одинаковыми, поскольку перемещения двух общих узловых точек на концах линии раздела для обоих элементов должны быть общими. Из соотношений εх=u/∂х и εy=∂ν/∂y следует, что если перемещения меняются линейно, то деформации внутри каждого элемента являются константами. Конечно, возможно применение более сложных функций для описания деформаций внутри каждого элемента.

Через узловые перемещения можно также выразить силы взаимодействия между элементами. Остается установить уравнения равновесия узлов. В плоской задаче узловые силы имеют две составляющие: одну — в направлении х, другую — в направлении у. Уравнения равновесия получаются приравниванием каждой компоненты сумме соответствующих компонент сил, действующих в остальных элементах, которые соединяются в данном узле. Силы, действующие в узловых точках граничных элементов, приравнивают внешним нагрузкам или напряжениям. Полученную в результате систему уравнений можно решить с помощью ЭВМ.

При использовании метода конечных элементов для получения коэффициента интенсивности напряжений можно применять, по существу, два способа. Один из них является прямым методом, согласно которому величина K определяется по полю напряжений или перемещений. Во втором методе величина К определяется косвенно — через соотношение с другими величинами, такими, как податливость, упругая энергия или J–интеграл.

Прямой метод использует результат общего аналитического решения задачи о трещине. Для случая трещины типа I распределения напряжений и перемещений заданы формулами (см. гл. III)

(13.5)

Отсюда следует, что, зная напряжения и перемещения, величину KI можно вычислить по формулам

(13.6)

Метод конечных элементов дает возможность определить распределение напряжений и перемещений. Вычисляя таким образом напряжение в некотором элементе, находящемся вблизи вершины трещины, и подставляя в уравнение (13.6) соответствующие значения r и θ, можно определить величину КI. Аналогично, величину КI можно определить из поля перемещений. То же самое можно проделать для нескольких элементов. При этом получится ряд значений, которые в идеальном случае должны быть равны между собой. Поскольку аналитическое выражение (13.6) справедливо лишь вблизи вершины трещины, подобную процедуру следует проводить только для элементов в окрестности вершины трещины. В этом методе необходимо провести разбиение области при вершине трещины на маленькие элементы, что приведет к увеличению необходимого объема памяти ЭВМ.

Проверить применимость этой методики можно на простом примере, для которого решение известно. Вэтвуд [14] исследовал методом конечных элементов пластину с центральной трещиной, изображенную на рис. 13.1. Поскольку пластина симметрична, можно ограничиться рассмотрением только ее четвертой части. В более крупном масштабе показаны семь элементов, непосредственно примыкающих к вершине трещины. Каждый из них дает оценку компонент напряжения, которые можно подставить в уравнение (13.6). Полученные в результате значения КI представлены в табл. 13.1; они лежат в пределах от 1,5 до 18,5, тогда как истинное значение составляет 5,82.

Очевидно, для того чтобы считать данный метод надежным, нужна большая согласованность этих значений. Более достоверную оценку величины К можно получить из графика ее зависимости от r при фиксированных значениях θ. Если бы при построении этого графика использовались точные значения напряжений, то на пересечении кривой с осью при r = 0 мы получили бы точное значение K. Можно ожидать, что использование приближенных значений напряжений, полученных методом конечных элементов, привело бы к разумной оценке величины КI.

Эта методика была использована в работе Чена и др. [15]. На рис. 13.2 представлены результаты расчета, полученные ими для бесконечной пластины с центральной трещиной. Применение метода конечных элементов в непосредственной близости от вершины трещины приводит к неверным результатам, поскольку с помощью этих элементов нельзя представить сингулярность напряжений в данной точке. Однако с увеличением r наклон кривой становится постоянным. Хорошая оценка получается при экстраполировании этой кривой с помощью прямой, имеющей тот же наклон, до точки r = 0. Если использовать экстраполяцию в том виде, в котором она представлена на рис. 13.2, то значение К, полученное методом конечных элементов, отличается от значения этой величины, полученной с помощью решения Вестергарда, только на 5% (обратите внимание на то, что вертикальная ось на рис. 13.2 начинается не от нуля).

Рис. 13. 1. Модель пластины с центральной трещиной, состоящая из 470 элементов и 478 узловых точек
(по работе Вэтву-да [14])


Таблица 13.1 Расчет пластины с центральной трещиной методом конечных элементов [14]. Задача решена в напряжениях

Номер элемента Величина КI, определенная из значений
уx уy фxy
1
2
3
4
5
6
7
2,37
3,40
2,60
2,28


1,56
12,5
5,55
5,88
6,54
7,28
5,88
6,19
8,40
18,5
5,05
4,28
6,19
3,85
5,64

Чен и др. [15] исследовали влияние размера конечного элемента на точность данного метода. Для этого вычислительная программа была написана с таким расчетом, чтобы она давала возможность получать сетки со все более уменьшающимися размерами ячеек. Были получены коэффициенты интенсивности напряжений для компактного образца, предназначенного для растяжения. При этом задача решалась в перемещениях. Одно из разбиений на элементы показано на рис 13.3.

Влияние размера элемента на коэффициент интенсивности напряжений, полученный методом матрицы перемещений, показано на рис. 13.4. Эти результаты сравниваются с результатами, полученными методом граничной коллокации. Оказывается, с уменьшением размеров элементов, примыкающих к вершине трещины, уменьшается значение r/W, при котором наклон соответствующих кривых становится постоянным. Интенсивность напряжений, получаемая при экстраполировании до точки r = 0 кривой, которая получается в результате разбиения исследуемой области на крупные ячейки (площадь элемента при вершине трещины равна 3,1·10-4 а2), отличается от соответствующего решения, полученного методом граничной коллокации, примерно на 11%. Интенсивность напряжений, которая получилась при разбиении на самые мелкие элементы (площадь элемента при вершине трещины равна 1,2·10-6 a2), отличается от этого решения только на 6%. Уменьшая ячейки, находящиеся вне области трещины, можно получить еще лучшие результаты (расхождение в этом случае составляет только 5%).

Рис. 13.2. Результаты расчета бесконечной пластины с центральной трещиной,
проведенного методом конечных элементов [15] (по данным Пергамона):
1 — теоретическое значение; 2 - метод конечных элементов

Рис. 13.3. Модель компактного образца, предназначенного для растяжения [15]

Некоторыми исследователями (см., например, [16—18]) введены специальные элементы при вершине трещины, позволяющие учитывать сингулярность при этой вершине. На рис. 13.5 результаты, полученные Валшем [18] для различных размеров трещин в образце с краевой выточкой, предназначенном для растяжения, сравниваются с решением, полученным методом граничной коллокации (см. [10]). Получаемая при этом точность вполне удовлетворительная. Преимущество специальных элементов состоит в том, что, применяя их, для достижения одного и того же уровня точности можно обойтись меньшим количеством элементов, чем в описанном ранее методе. Это приводит к экономии машинного времени.

Коэффициент интенсивности напряжений с помощью метода конечных элементов можно также получить различными косвенными путями, например, вычислить податливость при различных размерах трещин. Эти данные следует использовать для численного дифференцирования податливости по размеру трещины. Интенсивность напряжений (см. гл. V) определяется следующим соотношением:

(13.7)

Моубрэйем эта процедура была использована для анализа одиночной краевой выточки, находящейся под действием растягивающих сил. С другой стороны, можно вычислить упругую энергию, заключенную в пластине, для различных размеров трещин. Численное дифференцирование позволяет вычислить скорость выделения энергии, с величиной которой коэффициент К связан соотношением К2 = ЕС. С помощью этого метода Свенсоном [20] была определена интенсивность напряжений для трещины, находящейся во внутренней полости цилиндра под давлением. Вэтвуд проверил точность этого метода, анализируя случай центральной трещины в пластине конечных размеров. В табл. 13.2 эти результаты сравниваются с решением Исида [21] (см. гл. III). Получено очень хорошее согласие: различия не превышают 2%.

Рис. 13.4. Влияние размера элементов на точность вычислений значения К
для компактного образца, предназначенного для растяжения [15] (по данным Пергамона):
1 — метод коллокации; 2 — наименьший размер ячеек; 3 — уменьшение размеров ячеек при вершине трещины

Рис. 13.5. Расчет, выполненный Валшем методом конечных элементов [18],
для образца с краевой выточкой, предназначенного для растяжения (по данным Пергамона)


Таблица 13.2 Расчет величины К методом конечных элементов из интенсивности выделения энергии в пластине с центральной трещиной [14]

a/W KI/σ (методом конечных элементов) KI/σ (решение Исида) Расхождение, %
0,118
0,213
0,238
0,254
0,288
0,313
0,337
4,86
5,22
5,56
5,90
6,23
6,57
6,90
4,96
5,32
5,66
6,00
6,34
6,67
7,01
2,0
1,9
1,8
1,7
1,8
1,5
1,6

Как показано в гл. V, скорость выделения энергии можно определить из работы, которую совершают действующие при вершине этой трещины силы сжатия. С другой стороны, этого же можно добиться раскрывая трещину за счет нарушения сплошности сетки конечных элементов во фронте трещины. Хаясом [22] эта методика была применена для решения нескольких элементарных задач о трещинах.

Наконец, в упругом случае коэффициент интенсивности напряжений можно получить из J–интеграла. Если деформирование конструкции происходит упруго, то соотношение К2/E = G = J остается верным, J–интеграл методом конечных элементов можно вычислить численно. Ченом и др. [15] таким образом была вычислена величина K для компактного образца, предназначенного для растяжения (см. рис. 13.3). Путь интегрирования был выбран вдоль внешней границы образца. Плотности энергии деформаций были вычислены с помощью напряжений в узловых точках, а в качестве поверхностных натяжений были использованы действующие в узлах силы.

Полученный в результате коэффициент интенсивности напряжений отличался от соответствующего значения, полученного методом граничной коллокации, только на 3,5%.

Косвенные методы имеют преимущества: во-первых, не требуется никакой экстраполяции и, во-вторых, отпадает необходимость в чрезвычайно мелких ячейках при вершине трещины. С другой стороны, эти методы обладают рядом недостатков. Так как при использовании косвенного метода получается только одно значение К, трудно оценить степень ошибочности расчета. Другое осложнение, присущее почти всем косвенным методам, заключается в необходимости проводить расчеты по крайней мере для двух размеров трещин, чтобы — можно было выполнить дифференцирование. Однако машинный счет в этом случае, как правило, можно организовать так, что необходимое для него время будет лишь незначительно отличаться от времени, необходимого для расчета энергии для одной длины трещины. Остается недостаток, заключающийся в потере точности при дифференцировании. Наконец, при нагружении смешанного типа косвенные методы не всегда позволяют получить значения GI и GII.

Как уже отмечалось, метод конечных элементов позволяет проводить упругопластический анализ задач о трещинах. Область, окружающая вершину трещины, моделируется нелинейными упруго-пластическими элементами. Анализ подобных задач проводится методом поэтапной линеаризации (см. [23—25]). Леви и др. [24] выполнили расчет развития зоны пластичности в полубесконечной трещине, находящейся в бесконечно протяженном твердом теле. Решения этой задачи методом последовательной линеаризации конечного элемента были получены для 10%-ных возрастаний K. Некоторые из полученных при этом результатов представлены на рис. 13.6. Были использованы радиальные элементы; причем r0 — радиус элементов, расположенных непосредственно вблизи вершины трещины. Максимальный радиус зоны пластичности, как оказалось, соответствует θ≈70° (см. также гл. IV).

Рис. 13.6. Расчет зоны пластичности, выполненный Леви и др. [24]
с помощью моделирования конечными элементами



 Предыдущая  § 13.3. Метод конечных элементов  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line