Аналитические и численные методы

В основе развития механики разрушения лежат аналитические методы определения коэффициента интенсивности напряжений. С помощью этих методов были получены основные уравнения, описывающие поля напряжений и перемещений при вершине трещины, которые до сих пор служат отправной точкой для множества других решений. Сведения о том, что поля напряжений и перемещений для любого типа разрушения всегда имеют одну и ту же форму, дают возможность, как показано далее в главе, косвенно определить коэффициент интенсивности напряжений.

Однако с инженерной точки зрения аналитические методы наименее привлекательны. Вообще говоря, в этих методах предполагается точное удовлетворение граничных условий. Обычно это возможно только в случае бесконечной пластины или бесконечно протяженного твердого тела. При аналитическом решении той или иной задачи стремятся найти функцию напряжений Эри.

В задачах о трещине типа I часто бывает удобно использовать функцию напряжений Вестергарда [2], которая имеет вид

(13.1)

В гл. III показано, что использование функции Вестергарда приводит к общему решению этой задачи. Существуют сложные функции напряжений других видов. Одна из них, полученная Мусхелишвили [3], особенно полезна во многих случаях, потому что допускает конформное отображение трещин и отверстий. Функция Мусхелишвили имеет вид

(13.2)

С помощью уравнений (3.4) получаем

(13.3)

Кроме того, можно показать, что

(13.4)

Этот метод, детально рассмотренный в работе Си [4], был использован Эрдоганом [5] при решении им задачи о трещине в пластине конечных размеров.

Были предложены и другие аналитические методы. Интересный подход основан на предположении о непрерывном распределении дислокаций (см. [6, 7]). В этом подходе трещина представлена как перемещение разрыва сплошности, происходящее в результате действия множества дислокаций. Применение дислокационной модели для имитации процесса распространения трещин было рассмотрено в работе Билби и Эшелби [7].

Если прямое решение уравнений невозможно, то для получения их приближенного решения применяют численные методы. Для получения коэффициентов интенсивности напряжений развиты различные численные методы. Бови [8] методика конформного отображения была использована для исследования важной технической задачи о трещине, возникающей на краю отверстия. Результат такого исследования детально рассмотрен в гл. XIV. При численном решении этой задачи было использовано разложение отображающей функции в ряд Тейлора. Для анализа ортотропной пластины Бови и Нилом [9] был использован метод коллокационного отображения. Этот метод является комбинацией методов конформного отображения и коллокаций граничных условий.

В чистом виде методика коллокаций граничных условий позволяет вместо дифференциальных уравнений, описывающих упругую среду, использовать систему линейных алгебраических уравнений. Разложение в ряд Тейлора проводится таким образом, чтобы удовлетворялись граничные условия. Метод граничной коллокаций был использован для решения множества задач о пластинах конечных размеров. Гросс и Сроули [10, 11] применили эту методику для определения величины корректировочных коэффициентов образцов, испытываемых на определение ударной вязкости. Исида [12] исследовал случай трещины, приближающейся к отверстию, и некоторые задачи.



 Предыдущая  § 13.2. Аналитические и численные методы  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования
Наш сайт работает на Sapid CMS