Напряжения при вершине трещины

Раскрытие трещины в твердом теле может быть осуществлено тремя различными путями, как показано на рис. 1.3. При нормальных напряжениях возникает трещина типа «разрыв» (тип I): перемещения берегов трещины перпендикулярны плоскости трещины. При плоском сдвиге образуется трещина типа II, или трещина типа «сдвиг»: перемещения берегов трещины происходят в плоскости трещины и перпендикулярно ее фронтальной линии. Трещина типа «срез», или типа III, образуется при анти-плоском сдвиге: перемещения берегов трещины совпадают с плоскостью трещины и параллельны ее направляющей кромке. В общем случае трещину можно описать этими тремя типами. Наиболее важное значение в технике имеет трещина типа I, обсуждением которой мы ограничимся.

Тип I Тип II Тип III

Рис. 1.3. Типы растрескивания

Рассмотрим сквозную трещину типа I длиной 2a в бесконечной пластине, как показано на рис. 1.4. Пластина находится под действием растягивающего напряжения σ, которое вызывается приложенными в бесконечности силами. В гл. III и XIII рассмотрено несколько путей для вычисления поля упругих напряжений при вершине трещины. Элемент dxdy пластины, расположенный на расстоянии r от вершины трещины и составляющий с плоскостью трещины угол θ, находится под действием нормальных напряжений σх и σy, действующих в направлениях x и у, и касательного напряжения τху. Можно показать (см. [3—6]), что эти напряжения равны (см. гл. III):

Рис. 1.4. Трещина в бесконечной пластине

(1.1)

Как и следовало ожидать, в упругом случае напряжения, указанные в (1.1), пропорциональны внешнему напряжению σ. Их величины пропорциональны корню квадратному из размера трещины и стремятся к бесконечности в вершине трещины при обращении r в нуль. Зависимость σу от r при θ = 0 показана на рис. 1.5.

../images/fracturemechanics/IMG00008.gif

Рис. 1.5. Упругое напряжение σy при вершине трещины

Для больших значений r величина σу стремится к нулю, в то время как она должна стремиться к σ. Очевидно, уравнения (1.1) справедливы только в ограниченной области — вблизи вершины трещины. Каждое из уравнений представляет собой первый член ряда. В окрестности, около вершины трещины, эти первые члены достаточно точно описывают поля напряжений, поскольку остальные члены малы по сравнению с ними. На больших расстояниях от вершины трещины следует вводить большее количество членов в уравнения (см. гл. III).

В уравнениях (1.1) функции координат r и и имеют простой вид. В обобщенном виде эти уравнения можно записать так:

(1.2)

Коэффициент KI называется коэффициентом интенсивности напряжений, где индекс I обозначает тип разрушения I. Когда известен коэффициент КI, поле напряжений при вершине трещины полностью определено. Две трещины, одна размером 4a, а другая размером а, имеют одинаковые поля напряжений при их вершинах, если первая трещина нагружена напряжением σ, а вторая — напряжением . В этом случае КI имеет одинаковые значения для обеих трещин.

Уравнение (1.2) есть решение упругой задачи; оно не запрещает обращения напряжения при вершине трещины в бесконечность.

Рис. 1.6. Зона пластичности при вершине трещины.
Распределение напряжений: а — принятое; б — приближенное

В действительности этого не может произойти: пластические деформации, возникающие при вершине трещины, ограничивают напряжения. Точное решение упругой задачи для поля напряжении еще не получено. Размер зоны пластичности при вершине трещины можно оценить, если определить расстояние от вершины трещины r*p, на котором упругое напряжение σу превышает предел текучести σys (рис. 1.6, а) (см. [7,8]). Подставляя σууs в уравнение (1.1) для σy и полагая θ=0, получим

(1.3)

На самом деле зона пластичности несколько больше (рис. 1.6, б). Общие выражения для размера зоны пластичности рассмотрены в гл. V. Здесь достаточно отметить, что r*р можно непосредственно выразить как функцию коэффициента интенсивности напряжений и предела текучести.

Выше утверждалось, что в зоне упругости трещины различных размеров, но с одинаковыми КI имеют одинаковые поля напряжений. Возникает вопрос: справедливо ли это утверждение в случае, когда материал испытывает пластические деформации? Согласно уравнению (1.3), трещины, нагруженные до одинаковых значений КI, имеют зоны пластичности одинаковых размеров. Вне зоны пластичности поля напряжений будут одинаковыми. Если две трещины имеют одинаковые пластические зоны и одинаковые напряжения на границе этой зоны, то напряжения и деформации внутри зоны пластичности должны быть равными.

Иными словами, поле напряжений определяется коэффициентом интенсивности напряжений. Этим коэффициентом определяется также то, что происходит внутри зоны пластичности. КI есть мера всех напряжений и деформаций. Когда напряжения и деформации при вершине трещины достигают критических значений, происходит расширение трещины. Это означает, что при достижении КI критического значения КIc произойдет разрушение. Можно предполагать, что КIc есть константа материала.

Возьмем пластину с трещиной известного размера и растянем ее в испытательной машине вплоть до разрушения. По величине нагрузки, при которой произошло разрушение, можно вычислить разрушающее напряжение σс. Отсюда, зная σс, можно найти критическое значение коэффициента интенсивности напряжений в момент разрушения:

(1.4)

Если КIc — константа материала, то такое же значение должно быть получено при испытании образца с трещиной иного размера. В определенных пределах это действительно имеет место. Зная величину КIc, можно рассчитать прочность такого же материала с трещинами любых размеров. Можно также рассчитать, какой размер трещины допустим в материале, напряженном до заданного уровня. В реальных условиях ситуация несколько сложнее. Во-первых, выражение (1.4) для коэффициента интенсивности напряжений справедливо лишь для бесконечной пластины. Для пластины конечных размеров эта формула принимает вид (см. гл. III)

(1.5)

где W — ширина пластины. Для определения KIc необходимо знать функцию f(a/W). Безусловно, f(a/W) для малых значений a/W стремится к единице. Во-вторых, необходимо наложить ограничение на поперечные деформации в пластине. Истинное значение KIc можно получить опытным путем только в том случае, если перемещения точек пластины перпендикулярно ее плоскости достаточно малы, т.е.когда имеет место условие плоского деформирования, что наблюдается, когда пластина имеет достаточную толщину (см. гл. IV, VII). Если деформации в направлении, перпендикулярном плоскости пластины, ничем не ограничены (случай плоского напряженного состояния), то критическая величина коэффициента интенсивности напряжении будет зависеть от толщины пластины (см. гл. IV, VIII).

КIc есть мера трещиностойкости материала. Поэтому КIc называют «вязкостью разрушения при плоском деформированном состоянии». Для материалов с малой вязкостью разрушения допускаются только маленькие трещины. Типичные величины вязкости разрушения для трех различных высокопрочных материалов приведены в табл. 1.1.

Для материалов, представленных в табл. 1.1, допустимый размер трещины, при котором прочность уменьшается вдвое по сравнению с ее исходным значением, можно определить следующим образом:

(1.6)

Легко видеть, что в стали 4340 допустимы трещины размером 2a=2.6 мм, тогда как для легированной стали допустима трещинa размером 2a = 6.4 мм, а для алюминиевого сплава размером 2a = 8.8 мм

 

Таблица 1.1

Материал Временное сопротивление разрыву σu Предел текучести σys Вязкость разрушения KIc


MH/м2 кгс/мм2 кси MH/м2 кгс/мм2 кси
Сталь 4340 1820 185 264 1470 150 214 46 МН/м3/2 = 150кгс/мм3/2 = 42 кси
Легированная сталь 300 1850 188 268 1730 177 250 90 МН/м3/2 = 290кгс/мм3/2 = 82 кси
Алюминиевый сплав 7075-Т6 560 57 81 500 51 73 32 МН/м3/2 = 104кгс/мм3/2 = 30 кси

Легко видеть, что в стали 4340 допустимы трещины размером 2a = 2.6 мм, тогда как для легированной стали допустима трещинa размером 2a = 6.4 мм, а для алюминиевого сплава размером 2a = 8.8 мм.

На рис. 1.7, a в виде кривых изображена остаточная прочность трех материалов как функция длины трещины. Эти кривые определяются выражением Из этой формулы следует, что σc бесконечным при приближении а к нулю. На самом деле, при a = 0 кривая должна приближаться к значению σcu (см. гл. VII, VIII, IX).

Рис. 1.7. Вязкость разрушения трех высокопрочных материалов:
а — остаточная прочность как функция размера трещины; б — относительная остаточная прочность

Очевидно, материал с наибольшей вязкостью разрушения имеет наибольшую остаточную прочность. Если нанести на график значения отношения предела прочности к исходной прочности (до образования трещин), то получится совершенно иная картина (рис. 1.7, б). При одинаковых относительных потерях прочности алюминиевый сплав допускает более длинные трещины, чем другие материалы. Это происходит потому, что алюминиевый сплав имеет наибольшее отношение вязкости к прочности на разрыв (рис. 1.7, б).



 Предыдущая  § 1.3. Напряжения при вершине трещины  Следующая 
 
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line