Критерий Гриффитса

Несмотря на то что механика разрушения получила свое развитие главным образом за последние два десятилетия, одно из ее основных уравнений было получено Гриффитсом [9,10] еще в 1921 г. Рассмотрим бесконечную пластину единичной толщины с центральной поперечной трещиной длиной 2a. Края пластины неподвижны, а напряжение в ней равно σ, как показано на рис. 1.8, а. На рис. 1.8, б приведена диаграмма «нагрузка—удлинение».

Рис. 1.8. Критерий Гриффитса при неподвижных захватах:
а — пластина с трещиной с неподвижными краями;
б — энергия упругих деформаций пластины с трещиной длиной a (1) и а+da(2)

Запасенная в пластине упругая энергия представлена площадью OAB. Если длина трещины увеличится на величину ∂a, то жесткость пластины уменьшится (линия ОС); это означает, что нагрузка несколько уменьшится, поскольку края пластины неподвижны. Следовательно, упругая энергия, запасенная в пластине, уменьшится до величины, равной площади ОСВ. Увеличение длины трещины с a до a+ приведет к освобождению упругой энергии, равной по величине площади ОАС.

Если пластина нагружена до более высокого напряжения, то при увеличении длины трещины на величину освободится большая энергия. Гриффитс предположил, что трещина будет расти лишь в том случае, если освобождаемая при этом энергия достаточна для обеспечения всех затрат энергии, связанных с этим ростом. В противном случае необходимо увеличить напряжение. Треугольник ODE представляет собой энергию, выделяемую при распространении трещины.

Условие, необходимое для роста трещины, следующее:

(1.7)

где U — упругая энергия, а W — энергия, необходимая для роста трещины. Основываясь на расчетах поля напряжений для эллиптического отверстия, выполненных Инглисом [11], Гриффитс получил выражение для dU/da в виде

(1.8)

на единицу толщины пластины, где Е — модуль Юнга. Обычно величину dU/dа заменяют величиной

(1.9)

которая называется «скоростью высвобождения упругой энергии», приходящейся на каждую вершину трещины. Величину G называют также трещинодвижущей силой; ее размерность — энергия, деленная на единицу толщины пластины и на единицу изменения длины трещины, что также может быть представлено в виде силы, приходящейся на единицу изменения длины трещины.

Энергию, расходуемую на распространение трещины, обозначают через R=dW/da и называют сопротивлением росту трещины. В первом приближении можно считать, что энергия, необходимая для образования трещины (для разрыва атомных связей), одинакова для любых приращений dа. Это означает, что R — константа.

Теперь энергетическое условие (1.7) можно перефразировать следующим образом: для распространения трещин необходимо, чтобы G было, по крайней мере, равно R. Если R — константа, то, значит, величина G должна превысить некоторое критическое значение GIc. Следовательно, распространение происходит при следующем условии:

(1.10)

Критическое значение G (критическую скорость высвобождения энергии) можно получить, измерив напряжение σс, необходимое для разрушения пластины с трещиной размером 2а, и вычислив из уравнения (1.10) величину G.

Гриффитc вывел свое уравнение для стекла — очень хрупкого материала. Он предположил, что величина R определяется только поверхностной энергией. В вязких материалах, например металлах, при вершине трещины образуются пластические деформации. Для образования новой зоны пластических деформаций при вершине трещины необходима большая энергия. Поскольку эта пластическая зона должна быть образована в процессе роста трещины, то энергию, необходимую для распространения трещины, можно положить равной энергии, необходимой для образования этой трещины. Это означает, что в металлах величина R определяется главным образом энергией деформации в пластической зоне; поверхностная энергия в этом случае настолько мала, что ею можно пренебречь (см. [12, 13]). Энергетический критерий есть необходимое условие распространения трещины. Этот критерий не обязательно должен быть достаточным. Если материал при вершине трещины не находится на грани разрушения, то трещина не будет расти даже при достаточной энергии для ее развития: материал должен до конца исчерпать свою способность воспринимать нагрузку и продолжать деформироваться. Однако последний критерий эквивалентен энергетическому критерию, поскольку из уравнений (1.2) и (1.9) следует, что

(1.11)

Очевидно, критерий по напряжениям и энергетический критерий выполняются одновременно. Следовательно, уравнения (1.4) и (1.10) эквивалентны. В гл. III будет показано, что уравнение (1.11) справедливо для случая плоского напряженного состояния, а в случае плоского деформированного состояния его следует дополнить коэффициентом (1 — ν2), что приведет к соотношениям

(1.12)



 Предыдущая  § 1.4. Критерий Гриффитса  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования
Наш сайт работает на Sapid CMS