Главная  Учебные курсы  История Сопротивления Материалов  Кручение и изгиб стержней  Определение перемещений в стержневых системах

Определение перемещений в стержневых системах

Методы определения перемещений в стержневых системах основаны на принципе возможных перемещений, который был, вероятно впервые, распространен на деформируемые тела С. Пуассоном [463] в 1833 г. В этом случае он формулируется следующим образом: из всех возможных состояний равновесию системы, подверженной воздействию внешних сил, соответствует то, при котором полная энергия системы принимает стационарное значение. Использование этого вариационного принципа позволяет вывести теорему Ж. Лагранжа, согласно которой для линейных систем частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенному перемещению равна соответствующей ему обобщенной силе. Вероятно, эту теорему было бы правильнее называть первой теоремой Коттерилла—Кастильяно по именам Д. Коттерилла и А. Кастильяно. Д. Коттерилл еще до Кастильяно в 1865 г. опубликовал четыре работы [348 — 351], в которых установил сформулированную выше теорему, а также теорему о том, что для линейных систем частная производная от потенциальной энергии деформации по обобщенной силе равна соответствующему этой силе обобщенному перемещению. На это, по-видимому, впервые было указано в книге А.П. Филина [293], т. II, с. 488, 493. В курсах сопротивления материалов эта теорема обычно называется теоремой Кастильяно, который доказал ее в дипломной работе, посвященной расчету ферм в Туринском политехническом институте в 1873 г. и опубликовал полученный результат на итальянском языке в 1875 г. [337], а на французском — в 1879 г. [338].

Полученные результаты были использованы Кастильяно для определения лишних неизвестных в статически неопределимых фермах, а в дальнейшем обобщены им на упругое тело произвольной формы. Заметим, что еще до Кастильяно в 1857 г. Л. Менабреа, занимаясь расчетами статически неопределимых ферм, предложил определять лишние неизвестные, исходя из минимума потенциальной энергии деформации. Это положение получило название начала наименьшей работы. Статья Л. Менабреа на итальянском языке была опубликована в 1857 г. [431], а на французском — в 1858 г. [432]. Однако обоснование этого начала Менабреа не дал. Очевидно, что оно следует из второй теоремы Коттерилла—Кастильяно.

В случае нелинейных систем две указанных выше теоремы остаются в силе, но только во второй теореме производные следует брать не от потенциальной энергии деформации, а от другого функционала — так называемой дополнительной энергии. На это обстоятельство указал в 1889 г. Ф. Энгессер.

Исчерпывающее описание связей между различными термодинамическими потенциалами дано в книге А.П.Филина [293], т. II, с. 463—466.

Из второй теоремы Коттерилла—Кастильяно обычно выводится очень удобная формула для определения перемещений в стержневых системах — интеграл перемещений, который в курсах сопротивления материалов обычно называется интегралом Мора. Этот метод определения перемещений опубликован О. Мором в ряде статей [436 — 438] в 1874 г. Для частного случая определения перемещений в фермах этот способ был предложен раньше в 1864 г. Д. Максвеллом [429]. Поэтому интеграл перемещений следовало бы, вероятно, назвать интегралом Максвелла—Мора. Интеграл Максвелла—Мора для прямого стержня постоянного по перечного сечения может быть вычислен при помощи простого правила, предложенного А.К. Верещагиным в бытность им студентом Московского института инженеров транспорта в 1924 г. [139].

Э. Бетти

Э. Бетти

В курсах сопротивления материалов интеграл Максвелла—Мора обычно используется для определении перемещений в винтовых цилиндрических пружинах растяжения, сжатия и кручения. Вероятно, впервые задачу растяжения винтовой цилиндрической пружины силами, направленными по ее оси, решил Б. Сен-Венан [475] в 1844 г. Первая монография по расчету и конструированию витых пружин написана С.Д. Пономаревым [230].



 Предыдущая  Определение перемещений в стержневых системах  Следующая 
 
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика
Яндекс цитирования
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line