Главная  Учебные курсы  История Сопротивления Материалов  Кручение и изгиб стержней  Определение напряжений при изгибе прямого стержня

Определение напряжений при изгибе прямого стержня

Задача изгиба стержня интересовала еще Леонардо да Винчи. Он установил, что в двухопорной балке постоянного поперечного сечения «изгибается больше всего» та часть, которая находится на наибольшем расстоянии от опор.

Листы записных книжек Леонардо да Винчи, в которых рассматривается изгиб балок

В результате экспериментальных исследований изгиба балки квадратного поперечного сечения на двух опорах, нагруженной в среднем сечении силой F, Леонардо да Винчи пришел к выводу, что разрушающая сила равна:

где c — постоянная, a — сторона квадрата, l — длина балки [36]. Если принять, что закон Р. Гука справедлив до разрушения, то тогда правильный результат будет

Вероятно, что невысокая экспериментальная техника того времени и наличие пластических деформаций перед разрушением не позволили установить правильный результат. Что касается прогиба, то вначале Леонардо да Винчи получил, что он пропорционален произведению силы на длину балки, затем исправил этот результат, приняв, что он пропорционален произведению силы на квадрат длины и только затем пришел к правильному выводу пропорциональности прогиба произведению силы на куб длины [36].

Задача прочности изогнутого прямого стержня прямоугольного поперечного сечения была поставлена Г. Галилеем. На рисунке представлена иллюстрация Галилея к постановке задачи, взятая из его книги [150].

Исследование прочности прямого стержня, проведенное Г. Галилеем

Конечно, Галилей не мог дать правильного решения статически неопределимой задачи изгиба стержня, поскольку ему был неизвестен закон, связывающий напряжения и деформации — закон Гука. Галилей умер, когда Р. Гуку было только семь лет. Да, впрочем, понятия напряжений и деформаций в то время не были определены. Поэтому изложенный ниже анализ решения Галилея является условным. Для решения задачи Галилей принял, что внутренние силы в поперечном сечении изогнутой консольной балки распределены равномерно, т.е.что эпюра напряжений в поперечном сечении является прямоугольником (см. рисунок). Галилей не понимал, что при изгибе стержня часть волокон растянута, а часть сжата. Полагая, что принятое им распределение напряжений имеет место до разрушения, Галилей нашел разрушающую нагрузку из условия равновесия в момент разрушения балки, освобожденной от заделки (сумма моментов относительно оси, проходящей через точку A, на рисунке равна нулю):

Схема распределения напряжений при изгибе балки, принятое Г. Галилеем

где Fразр — сила, разрушающая балку; σразр — напряжение при разрушении растянутого стержня из того же материала; b — ширина; a — высота поперечного сечения. Разрушающая нагрузка

По сути дела, Галилей рассматривал условие равновесия рычага с точкой опоры A. Таким образом, приняв неверное распределение внутренних сил в поперечном сечении, Галилей ошибся в величине момента сопротивления изгибу в три раза. Как известно, момент сопротивления изгибу прямоугольного поперечного сечения, подсчитанный в предположении справедливости закона Гука, равен

Однако если определять предельную нагрузку такую, при которой во всех точках поперечного сечения напряжения равны пределу текучести, то тогда получим

Откуда

т.е. в этом случае так называемый «пластический» момент сопротивления

и тогда Галилей ошибся уже только в два раза.

На основании вышеизложенного Галилей пришел к правильному заключению, что стержень прямоугольного поперечного сечения с различными размерами сторон более прочен, когда он поставлен на ребро, нежели когда он лежит плашмя, и во столько раз, во сколько одна сторона больше другой. В случае нагружения консольной балки равномерно распределенной нагрузкой (собственный вес) Галилей пришел к заключению, что изгибающий момент пропорционален квадрату расстояния от свободного конца

где q — интенсивность распределенной нагрузки (вес единицы длины балки).

Для круглого поперечного сечения Галилей правильно установил, что момент сопротивления изгибу пропорционален кубу диаметра, исходя из того, что он должен быть пропорционален произведению площади на диаметр.

Галилей впервые поставил и решил задачу оптимального проектирования. Он нашел закон изменения высоты консольной балки, нагруженной сосредоточенной силой, равного сопротивлению изгибу, т.е. такой балки, у которой во всех поперечных сечениях напряжения одинаковы. Поскольку в основе всех исследований изгиба у Галилея лежало предположение о равномерном распределении напряжений, а закон изменения изгибающего момента (линейный) он принимал правильно, Галилей установил зависимость высоты поперечного сечения от расстояния от свободного конца с точностью до постоянного множителя.

Исследуя изгиб балки на двух опорах, Галилей показал, что наибольший изгибающий момент пропорционален произведению расстояний от точки приложения силы до опор ab, и, следовательно, наибольшая величина момента имеет место в том случае, когда сила приложена в среднем сечении балки.

Изучая прочность полых балок, Галилей пришел к правильному заключению, что при одинаковом весе полые стержни прочнее сплошных.

К решению задачи изгиба балки прямоугольного поперечного сечения вплотную подошел Э. Мариотт, и только досадная ошибка не позволила ему вывести правильную формулу для определения нормальных напряжений в балках. Исследование Мариотта по изгибу стержня изложено в его труде, посвященном движению жидкостей [426], опубликованном после его смерти в 1686 г.

Схема распределения напряжений при изгибе балки, принятое Э.Мариоттом

Э. Мариоттом независимо от Р. Гука был установлен закон прямой пропорциональности удлинений растянутого образца от приложенной силы, он не понял статическую неопределимость задачи и не использовал установленный им закон при решении задачи изгиба консольной балки прямоугольного поперечного сечения. Вначале Мариотт, так же как и Галилей, полагал, что все волокна балки растянуты, но в отличие от Галилея считал, что закон изменения внутренних сил в поперечном сечении линейный, причем нейтральная линия проходит через нижние точки поперечного сечения. Тогда уравнение имеет вид

откуда

и, следовательно, момент сопротивления изгибу равен

т.е. в этом случае Мариотт ошибся в величине момента сопротивления изгибу в два раза. Если считать, что линейный закон распределения внутренних сил справедлив до разрушения, то тогда нагрузка, разрушающая балку, по Мариотту составляет 2/3 от нагрузки по Галилею.

Такую же треугольную эпюру напряжений принимали Г. Лейбниц [422] и П. Вариньон [491]. Заметим, что Лейбниц связывал удлинения с внутренними силами при помощи закона Гука.

В дальнейшем Э. Мариотт понял, что при изгибе балки прямоугольного поперечного сечения не все волокна балки растянуты, а половина их сжата, т.е.эпюра нормальных напряжений в поперечном сечении такая, как изображено на рисунке.

Второй вариант схемы распределения напряжений при изгибе балки Э. Мариотта

Следовательно, растягивающие и сжимающие силы в половинах заделанного поперечного сечения равны

Однако при подсчете разрушающей силы Э. Мариотт умножил на плечо a не величину указанных сил, а удвоенную величину, соответствующую эпюре распределения напряжений в первом варианте решения, в результате чего по-прежнему пришел к полученному им ранее соотношению.

Результат, полученный Мариоттом для разрушающей нагрузки, лучше согласовывался с результатами опытов, поставленных им на деревянных и стеклянных стержнях, чем результат, полученный Галилеем. Заметим, впрочем, что Мариотт производил испытания с балками круглого поперечного сечения, а формула была им выведена для прямоугольного поперечного сечения. Расхождения между теоретическими и экспериментальными данными Мариотт объяснил влиянием продолжительности воздействия нагрузки. Оба они не обратили внимания на существование поперечной силы в сечениях балки, точно, так же, как и на необходимость, согласно принятым ими законам распределения нормальных напряжений (первый вариант у Мариотта), существования нормальной сжимающей силы, распределенной по ширине сечения, в нижних волокнах балки.

Интересно отметить, что и Галилей, и Мариотт полагали, что принятые ими законы распределения напряжений справедливы при разрушении, и ставили задачу определения нагрузок, разрушающих балку.

Правильное решение задачи об изгибе балки прямоугольного поперечного сечения было дано А. Параном в 1713 г. В первой работе Паран [458] обратил внимание на то, что результат, полученный Мариоттом, справедлив только для балок прямоугольного поперечного сечения. Следуя Мариотту, т.е. предполагая, что эпюра нормальных напряжений имеет вид треугольника), нейтральная линия проходит через нижнюю точку поперечного сечения), он подсчитал разрушающую нагрузку для балки круглого поперечного сечения. Во второй работе [459] Паран принял второй вариант эпюры Мариотта в виде двух треугольников и получил правильное выражение для моментов сопротивления изгибу. Вероятно, Паран понимал, что этой величиной нельзя пользоваться для подсчета разрушающей силы. Для этой цели он предлагал в случае балки прямоугольного поперечного сечения эпюру из двух неодинаковых треугольников. Он обратил внимание на то, что в поперечном сечении консольной балки, нагруженной на конце силой, возникает поперечная сила, по величине равная приложенной.

Приведение круглого поперечного сечения к прямоугольному с наибольшим моментом сопротивления изгибу по А.Парану

Отметим, что Паран дал решение задачи о том, как получить из круглого бревна прямоугольный брус, имеющий наибольший момент сопротивления изгибу. Это решение представлено на рисунке.

Исследование Парана повторил в 1729 г. Г. Бюльфингер в работе, опубликованной в 1735 г. [332], а затем и Ш. Кулон в 1773 г. [352]. Они, по-видимому, не знали о работах Парана.

Заметим, что в одной из первых своих работ Л. Навье придерживается первого предположения, высказанного еще Мариоттом, о том, что нейтральная линия проходит через нижнюю точку поперечного сечения (при изгибе консольной балки силой, направленной вниз).

В 1820 г. А. Дюло [357], решая задачу изгиба балки в плоскости симметрии с поперечным сечением, имеющим одну ось симметрии, определяет положение нейтральной линии не из равенства растягивающих и сжимающих сил в поперечном сечении, а из равенства их моментов относительно нейтральной линии, что приводит к равенству моментов инерции относительно нейтральной линии растянутой и сжатой частей сечения и справедливо очевидно только для поперечного сечения с двумя осями симметрии. Это же положение было высказано инженером Томасом Тредгольдом (Tredgold Т., 1788 — 1829) в 1821 г. [487]. Только Л. Навье в книге, вышедшей в 1826 г. [447], дал правильное решение задачи об изгибе балки произвольного поперечного сечения.

Заметим, что Л. Навье не определил понятие момента инерции площади поперечного сечения. Оно было введено инженером Н. Перси (Persy N.) [461] в 1834 г., который разработал теорию моментов инерции. Он же указал, что решение Л. Навье справедливо при условии, что в плоскости действия изгибающего момента лежит одна из главных осей сечения (прямой изгиб).

В статьях И. Ходкинсона [381, 382], опубликованных в 1824 г. и 1831 г., исследуется изгиб призматических стержней. В основу положена степенная зависимость напряжения от деформации, причем для общности принято, что показатели степени при растяжении и сжатии различны. Вероятно, Ходкинсон первым установил, что для балки из материала, одинаково сопротивляющегося растяжению и сжатию, рациональной формой поперечного сечения является двутавр. Он отмечает, что в случае чугунных балок рациональной формой будет тавр с расположением полки в области растяжения, так как механические свойства чугуна при сжатии выше, чем при растяжении.

Задача чистого изгиба стержня прямоугольного поперечного сечения из материала, не подчиняющегося закону Гука и различно сопротивляющегося растяжению и сжатию, решена Б. Сен-Венаном и изложена в дополнении к курсу Л. Навье [447] в 1863 г., а решение задачи упругопластического (без упрочнения) изгиба стержня прямоугольного поперечного сечения приведено в его мемуарах [254] в 1871 г.

Решения различных задач расчета стержней за пределами пропорциональности при изгибе, кручении, а также совместном растяжении, изгибе и кручении изложены в капитальной монографии польского механика и инженера Михала Жычковского (Zyczkowski M., 1930) [508].

Решение задачи косого изгиба дано Б. Сен-Венаном в 1843г. [475], а внецентренное продольное растяжение или сжатие стержня (т.е.совместный чистый косой изгиб и растяжение) рассмотрел в 1859 г. Ж. Бресс [329], который ввел понятие ядра сечения и изучил его свойства. Заметим, впрочем, что частный случай внецентренного продольного нагружения стержня прямоугольного поперечного сечения в плоскости симметрии был рассмотрен еще Т. Юнгом в 1807 г. в упомянутой выше книге [506]. Им же было отмечено наличие сдвигов при поперечном изгибе стержня.

Л. Вика в 1833 г. [493] экспериментально показал, что в коротких балках поперечная сила оказывает существенное влияние на прочность. На это обращал внимание еще в 1776 г. Ш. Кулон [352].

Приближенное решение задачи определения касательных напряжений при поперечном изгибе балок было дано Д.И. Журавским в 1855 г. в заметке, являющейся частью его труда [172], написанного в связи с проектированием им в течение 1844—1850 гг. деревянных мостов для железной дороги Москва—Петербург. Совокупность работ, связанных с проектированием мостовых пролетных строений с фермами системы Гау, была представлена в Академию наук и награждена ею премией имени Демидова.

Исследование Д.И. Журавского было вызвано тем, что деревянные балки оказывают слабое сопротивление скалыванию вдоль волокон. Им рассмотрены два случая консольных балок: прямоугольного поперечного сечения, нагруженной силой на конце и подверженной воздействию равномерно распределенной нагрузки. Для них получены значения скалывающей силы в нейтральной плоскости и в сечениях, ей параллельных. В первом случае касательные напряжения в продольных сечениях распределены равномерно, а во втором — неравномерно. Интересно, что Д.И. Журавский не использовал дифференциальной зависимости между поперечной силой и изгибающим моментом, как это принято обычно при выводе формулы для касательного напряжения. Эта зависимость, которая представляет собой одно из уравнений равновесия элемента балки, была, по-видимому, установлена инженером И. Шведлером (SchwedlerJ.W.) в 1851г. в работе, посвященной расчету ферм [478]

Для сплошных сечений решение Журавского основано на предположении, что компонент касательного напряжения, параллельный поперечной силе, не изменяется по ширине сечения и позволяет определить только этот компонент. Если поперечное сечение состоит из полос постоянной толщины, изменением касательного напряжения по толщине стенки можно пренебречь, и формула Журавского дает возможность определить полное касательное напряжение. Использование ее для таких сечений позволяет определить положение центра изгиба. Если в плоскости действия внешней нагрузки не лежит центр изгиба, стержень не только изгибается, но и закручивается.

Изучение изгиба и кручения тонкостенных стержней в связи с исследованием устойчивости плоской формы изгиба двутавровой балки было проведено С.П.Тимошенко в 1905—1906 гг. [274].

Общая теория изгиба и кручения тонкостенных стержней создана В.З. Власовым и изложена им в ряде работ, обобщенных в монографии [143], первое издание которой вышло в 1940 г., а второе в 1959 г. Первое издание было удостоено Государственной премии в 1941 г.

Решение задач чистого и поперечного изгиба стержня методами теории упругости дано Б. Сен-Венаном в 1856 г. Он показал [255], что при чистом изгибе стержня поперечные сечения его остаются плоскими, а продольные волокна балки не взаимодействуют друг с другом, т.е.напряженное состояние всех точек стержня одноосное. Сен-Венан исследовал изменение формы поперечного сечения при изгибе и установил, что в случае изгиба консоли, нагруженной силой на свободном конце, депланация всех поперечных сечений одинакова, что не вызывает изменения длины волокон и поэтому не оказывает влияния на величины нормальных напряжений, вычисленных на основе предположения о том, что поперечные сечения остаются плоскими. Для этой же задачи Сен-Венан [255] указал на такое распределение касательных напряжений для различных поперечных сечений, при котором удовлетворяются все уравнения теории упругости. Сопоставление результатов точного (Сен-Венана) и приближенного (Журавского) решений для прямоугольного поперечного сечения показывает хорошее согласование их. Заметим, что Сен-Венан высоко оценил исследование Д.И.Журавского.

Таким образом, Сен-Венаном методами теории упругости были решены две важнейшие задачи механики: кручение стержня некруглого поперечного сечения и изгиб стержня. В книге А. Клебша [344] рассмотрен более общий случай нагружения призматического стержня произвольной системой сил, приложенных на торцах.

Решение задачи о растяжении и изгибе однородных и неоднородных стержней при помощи теории функций комплексного переменного дано в работе Н.И. Мусхелишвили. Они изложены в упомянутой выше его монографии [213], первое издание которой вышло в 1933 г.



 Предыдущая  Определение напряжений при изгибе прямого стержня  Следующая 
 
MYsopromat.ru - сопромат в режиме on-line
Яндекс цитирования
FEA.RU - Расчеты прочности, CAD/FEA/CFD/CAE Технологии, КЭ механика