Добро пожаловать, Гость. Пожалуйста, выберите Вход.
MYsopromat.ru - все, что Вы хотели знать о сопромате, но боялись спросить
21.09.2019 :: 23:22:46
Новости: То, насколько форум интересен напрямую зависит от активности посетителей.
Главная Справка Поиск Вход
Страниц: 1 2 
Послать Тему Печать
Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляева. (Прочитано 26348 раз)
Sokrat
Участник
**




Сообщений: 71
Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляева.
15.11.2012 :: 18:48:45
 
Здравствуйте. Надеюсь вы поможете разобрать, что же на практике представляет из себя "нейтральная линия" или "нейтральный слой". Давайте разберем плоский чистый изгиб.
Определения:
1. В ваших лекциях указано её определение "нейтральный слой, то есть волокна, длина которых при изгибе не изменяется";
2. Беляев пишет,  что нейтральный слой может и не проходить через центр тяжести сечения (в случае изгиба кривого бруса), то есть не проходит через ось симметрии балки и он может быть смещён на величину Z0. Пишет "это смещение связано с условием равенства между собой сумм сжимающих и растягивающих напряжений, действующих по сечению".
Но при этом на стр. 591 (сопромат Беляев 1965г.) приводит общую формулу 31.22 для прямоугольного сечения.  
Эту формулу я решил проверить и смоделировать чистый изгиб с нанесением нейтральной линии, а затем сравнить определение нейтрального слоя.
Везде во всех книгах пишут, что нейтральная линия не изменяет свою длину после деформации, то есть длина её неизменна. Проверим это утверждение.  
 
Теоретический эксперимент (чертеж №1, выполнен в системе Autocad):
Площадь сечения балки равна F=2827,4334 мм (должна сохраниться и после изгиба! - закон сохранения объёма)
Высота балки h=20 мм;
Ширина сечения балки b=50 мм;
Длина нейтральной линии в исходном состоянии балки L=141,3717 мм (берётся равное расстояние от наружного и внутреннего волокна на рисунке - синяя линия в исходном состоянии до изгиба балки) - нейтральная линия совпадает с осью симметрии бруса.
 
После изгиба получаем:
Длина оси симметрии после изгиба L=141,3717 мм  
Радиус внутреннего волокна R1 = 80 мм;
Радиус наружного волокна R2 = 100 мм;
Радиус оси симметрии составил R = 90 мм (на верхнем рисунке ось симметрии выделена синей линией)
Радиус нейтрального слоя определили по формуле Беляева: R0=89,6284103 мм (на верхнем рисунке нейтральная линия/слой выделена красной линией)
Внимание: длина нейтральной линии составила: L0 = 140, 788 мм - это меньше длины этой линии в исходном состоянии (141,3717 мм), что противоречит определению нейтральной линии.
Для доп проверки, была выполнена штриховка и по штриховке определена площадь сечения после изгиба: F=2827,4334 мм. - она совпала с площадью сечения до изгиба, значит чистота эксперимента гарантируется.
 
Видно, что нейтральная линия сместилась ближе к внутренним волокнам и должна по идее делить зоны сжатия и растяжения волокон, поскольку её размеры НЕ ДОЛЖНЫ были измениться (длина нейтральной линии должна была быть равна 141,3717 мм - исходной состояние до изгиба - синяя линия внизу на рисунке), но мы видим обратную картину. Как объяснить это несоответствие?
 
 
Наверх
« Последняя редакция: 20.11.2012 :: 21:03:20 от Sokrat »  

Izgib.jpg
Посмотреть Профиль   IP записан
KAM
Специалист
****




Сообщений: 273
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #1 - 15.11.2012 :: 20:57:13
 
Процитировано сообщение: Sokrat от 15.11.2012 :: 18:48:45:

Эту формулу я решил проверить и смоделировать чистый изгиб с нанесением нейтральной линии, а затем сравнить определение нейтрального слоя.

Что значит смоделировать? Как моделировали?
Наверх
 
 
E-mail Посмотреть Профиль   IP записан
Sokrat
Участник
**




Сообщений: 71
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #2 - 15.11.2012 :: 21:25:06
 
Процитировано сообщение: KAM от 15.11.2012 :: 20:57:13:
Процитировано сообщение: Sokrat от 15.11.2012 :: 18:48:45:

Эту формулу я решил проверить и смоделировать чистый изгиб с нанесением нейтральной линии, а затем сравнить определение нейтрального слоя.

Что значит смоделировать? Как моделировали?

В системе Autocad, вы видите в 1 посте рисунок в масштабе 1:1, именно с него я и брал все размеры. Чистый изгиб чертил в автокаде, где видно исходное состояние бруса и его конечное состояние в реальном масштабе. Очень многие вещи в автокаде делаю для проверки физических размеров тела и площадей, а также для проверки многих формул. По формуле Беляева длина нейтральной линии должна быть равна её исходной  длине, чего не происходит при изгибе, который чертил в автокаде...поэтому вопрос и возник.  
Наверх
 
 
Посмотреть Профиль   IP записан
KAM
Специалист
****




Сообщений: 273
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #3 - 15.11.2012 :: 21:54:58
 
А что такое: "Длина оси симметрии после изгиба"?
Наверх
 
 
E-mail Посмотреть Профиль   IP записан
Sokrat
Участник
**




Сообщений: 71
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #4 - 15.11.2012 :: 22:32:33
 
Процитировано сообщение: KAM от 15.11.2012 :: 21:54:58:
А что такое: "Длина оси симметрии после изгиба"?

Это линия, которая делит толщину балки пополам, на двух рисунках она показана синим цветом. То есть это НЕ нейтральная линия.
Длину нейтральной линии я определил зная радиус и угол изгиба. Радиус нейтр. линии вычислял по Беляеву.
Наверх
 
 
Посмотреть Профиль   IP записан
KAM
Специалист
****




Сообщений: 273
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #5 - 15.11.2012 :: 23:34:19
 
Нейтральная линия - линия не меняющая длины.
Вычисляется теоретически... и по теоретически выкладкам - это центр масс сечения.
 
То что вы нарисовали в Автокаде - это Ваши рисунки. К изгибу имеют не большое отношение. Не совсем понятно как Вы стоите рисунки.
 
Если синия линия имеет одинаковую длину до и после деформации, то это - нейтральная линия.
 
Формула (31.22) относится к кривым стежням изначально! У вас стержень прямой.
 
А почему должна сохраняться площадь сечения?
 
P.S. Вы слишком радикальны в заявлениях! Хотите проверят теорию балок "чертежами", не относящимися к механике. Сначала разберитесь с теорией, а потом будете её критиковать!
Наверх
 
 
E-mail Посмотреть Профиль   IP записан
Sokrat
Участник
**




Сообщений: 71
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #6 - 16.11.2012 :: 01:20:53
 
Процитировано сообщение: KAM от 15.11.2012 :: 23:34:19:
Нейтральная линия - линия не меняющая длины.
Вычисляется теоретически... и по теоретически выкладкам - это центр масс сечения.

То что вы нарисовали в Автокаде - это Ваши рисунки. К изгибу имеют не большое отношение. Не совсем понятно как Вы строите рисунки.

Если синяя линия имеет одинаковую длину до и после деформации, то это - нейтральная линия.

Формула (31.22) относится к кривым стержням изначально! У вас стержень прямой.

А почему должна сохраняться площадь сечения?

P.S. Вы слишком радикальны в заявлениях! Хотите проверят теорию балок "чертежами", не относящимися к механике. Сначала разберитесь с теорией, а потом будете её критиковать!

Кстати, спасибо за участие в ветке! Вам отдельный респект.
Извините, если что не так пишу, в своих постах могу ошибаться, я не претендую на абсолютную правду, просто провожу аналогию расчетов и реальных построений по этим расчётам. Как раз задача этой ветки разобраться с теорией, поэтому я и разбираюсь такими методами, довольно эффективными для моего понимания процесса Улыбка
Видимо у Беляева нейтральная линия сместилась, потому что изначально он выбрал центр тяжести немного смещенным - при расчетах сместил ось координат судя по рисунку в книге.
Для создания плоской модели изгиба при моделировании/создания плоской модели изгиба площади сечения бруса до и после деформации должны совпадать, что я и показал на своих чертежах, указав на то, что чертёж построен верно - что соответствует чистому изгибу балки. Если модель объемная, тогда есть такое понятие как "закон постоянства объёмов", при котором сравниваются уже не площади, а объемы, закон гласит, что объем деформируемого металла до деформации равен объему металла после деформации. Объемные модели тоже можно создавать в системе Autocad. Ещё хочу отметить, что при моделировании в системе Deform координаты таких плоских моделей можно выносить прямо из 2D чертежей из Autocad. Мои чертежи имеют прямое отношение к теории изгиба, поскольку геометрические параметры чертежей рассчитываются по известным формулам теории изгиба. Деформация внутренних и наружных волокон относительно срединной линии совпадает с известными формулами, приведёнными для чистого изгиба и учитывает то, что сечения остаются плоскими после изгиба.
Если эта формула Беляева не работает при изгибе прямого бруса, тогда её так применять нельзя. Но мне ничего не стоит проверить эту формулу, выполнив расчет деформации бруса при повторном нагружении и выполнив чертёж по полученным геометрическим параметрам бруса через деформации, а потом сравнить, а действительно ли параметры длины нейтральной линии по этой формуле соответствуют параметрами длины нейтральной линии на изогнутом криволинейном брусе.
Если у вас есть предложения как можно проверить эти формулы без помощи Autocad, я буду очень рад выслушать их.
Наверх
 
 
Посмотреть Профиль   IP записан
KAM
Специалист
****




Сообщений: 273
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #7 - 16.11.2012 :: 02:50:31
 
1)
Вы определитесь!  
Либо пользуетесь известными формулами.
Цитата:
Мои чертежи имеют прямое отношение к теории изгиба, поскольку геометрические параметры чертежей рассчитываются по известным формулам теории изгиба.

Либо их проверяете.
Цитата:
Везде во всех книгах пишут, что нейтральная линия не изменяет свою длину после деформации, то есть длина её неизменна. Проверим это утверждение.

 
Получается странно проверяете формулы самими же формулами! И более странно, что они у Вас не сходятся!!!
 
Читаем Беляева...
стр. 580: "КРИВЫЕ СТЕРЖНИ".
стр. 588: "Из равенства (31.8) ясно, что равен нулю не интеграл ..., представляющий собой статический момент сечения относительно нейтрального слоя, как это было для прямого стержня, а другой интеграл. Это показывает, что при изгибе кривого стержня нейтральная ось действительно не проходит через центр тяжести сечения. ... откуда следует, что ... (31.9)"
стр. 590: "Для определения величины r служит уравнение (31.9): ..."
далее его преобразовывают к (31.22).
 
А теперь обращаем внимание на выделенное слово.
 
2)
Для прямых стержней смотрим стр. 264 Беляева.
 
3)
Что такое R_0 из формулы (31.22). И чему оно равно в Вашем случае?
 
4)
Цитата:
...закон гласит, что объем деформируемого металла до деформации равен объему металла после деформации

Пусть дан прямоугольный стержень длины l. Поперечное сечение ширины b и высоты h. Модуль упругости E, коэффициент Пуассона k. Стержень растягивается силой P. Найдите как изменятся длина стержня и стороны его сечения. Найдите объём деформированного стержня.
Наверх
 
 
E-mail Посмотреть Профиль   IP записан
Sokrat
Участник
**




Сообщений: 71
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #8 - 16.11.2012 :: 22:43:16
 
Процитировано сообщение: KAM от 16.11.2012 :: 02:50:31:
1)
Вы определитесь!
Либо пользуетесь известными формулами.
Цитата:
Мои чертежи имеют прямое отношение к теории изгиба, поскольку геометрические параметры чертежей рассчитываются по известным формулам теории изгиба.

Либо их проверяете.
Цитата:
Везде во всех книгах пишут, что нейтральная линия не изменяет свою длину после деформации, то есть длина её неизменна. Проверим это утверждение.

Как я начертил?Я посчитал тангенциальную деформацию по формуле (y/Rср)*100% - у Феодосьева и Ильюшина есть эта формула, где y - это расстояние от ср. линии до нужного нам волокна (в нашем случае y равно половина высоты сечения h/2), а Rср - радиус срединной поверхности после изгиба. Эта формула характеризует изменение деформации волокон по толщине бруса. Поэтому получив тангенциальную деформацию в процентах, я умножил/разделил этот процент на длину срединной линии и получил длины волокон наружной и внутренней. На базе этих расчетов был построен чертёж в 1 моем посте, который кстати совпал с формулами Феодосьева и Ильюшина. Но про нейтральную линию они не говорили. Графически я конечно же легко могу найти срединную/нейтральную линию (длина которой не изменилась после деформации), она будет проходить через ось симметрии бруса после изгиба и не будет смещена в этом случае. А теперь вопрос.  
Если формула Беляева не годится для расчета радиуса нейтрального волокна при деформации прямого стержня, тогда как определить радиус и длину нейтральной линии ПО ФОРМУЛАМ при деформации КРИВОГО стержня?  
То есть нужна формула (для проверки теории изгиба), которая подтвердит, что нейтральное волокно после деформации прямого стержня чистым изгибом не смещается и нейтральная линия будет равна в нашем частном случае по вышеприведенному примеру L=141,3717 мм после деформации. На 264 странице нет конкретной формулы где R0 и дается формула для определения радиуса нейтральной линии. Там только интегралы  даны для расчета статического момента и всё.
Наверх
 
« Последняя редакция: 17.11.2012 :: 22:20:57 от Sokrat »  
Посмотреть Профиль   IP записан
Sokrat
Участник
**




Сообщений: 71
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #9 - 16.11.2012 :: 22:55:09
 
Процитировано сообщение: KAM от 16.11.2012 :: 02:50:31:
1)
3)Что такое R_0 из формулы (31.22). И чему оно равно в Вашем случае?
4) Цитата:
...закон гласит, что объем деформируемого металла до деформации равен объему металла после деформации

Пусть дан прямоугольный стержень длины l. Поперечное сечение ширины b и высоты h. Модуль упругости E, коэффициент Пуассона k. Стержень растягивается силой P. Найдите как изменятся длина стержня и стороны его сечения. Найдите объём деформированного стержня.

3) Радиус нейтральной/срединной линии R0 по графическим данным Autocad равен 90 мм - это после изгиба прямого стержня, где прямой стержень стал кривым.  
По формуле Беляева (для кривых стержней) R0 = 89.6294 мм. Я так понимаю, что если изгибать кривой стержень ещё на более меньший радиус, то формула Беляева должна заработать?
4) Хороший вопрос. Надо найти обобщенные уравнения закона Гука.
 
 
И ещё. Думается мне, что если нейтральная линия не будет проходить через центр тяжести сечения при изгибе кривого стержня, то её длина после изгиба стержня будет меньше длины до изгиба этого же стержня...А если длина уменьшится, то определение нейтральной линии теряет смысл. Вот такой парадокс.
Наверх
 
« Последняя редакция: 17.11.2012 :: 00:09:47 от Sokrat »  
Посмотреть Профиль   IP записан
KAM
Специалист
****




Сообщений: 273
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #10 - 17.11.2012 :: 08:23:46
 
Процитировано сообщение: Sokrat от 16.11.2012 :: 22:43:16:
Если формула Беляева не годится для расчета радиуса нейтрального волокна при деформации прямого стержня, тогда как определить радиус и длину нейтральной линии ПО ФОРМУЛАМ при деформации прямого стержня?

Пока Вы пытаетесь скрестить ужа с ежом.
Вы уравнения для изгиба прямого стержня смотрели? Напишите его здесь и распишите что каждый множитель значит. Почитайте соответствующие разделы у Беляева (параграф 109).
 
Процитировано сообщение: Sokrat от 16.11.2012 :: 22:43:16:
То есть нужна формула (для проверки теории изгиба), которая подтвердит, что нейтральное волокно после деформации прямого стержня чистым изгибом не смещается и нейтральная линия будет равна в нашем частном случае по вышеприведенному примеру L=141,3717 мм после деформации. На 264 странице нет конкретной формулы где R0 и дается формула для определения радиуса нейтральной линии. Там только интегралы  даны для расчета статического момента и всё.

Пока Вы хотите проверить теорию изгиба прямого стержня, с помощью формул теории изгиба кривого стержня. Может попробуем ещё формулы кручение и растяжение применить?
 
Процитировано сообщение: Sokrat от 16.11.2012 :: 22:43:16:
На 264 странице нет конкретной формулы где R0 и дается формула для определения радиуса нейтральной линии. Там только интегралы  даны для расчета статического момента и всё.

Наверно что-то означает R_0? Что?
А чем Вам интегралы не нравятся, формула (31.22) выводилась тоже при помощи интегрирования.
 
Учимся читать!
стр. 264 формула (13.5) (далее) Этот интеграл представляет собой статический момент площади сечения относительно нейтральной оси. Так как он равен нулю, то, следовательно, нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения. (Всё! Не надо никаких поправок для прямого стержня).
стр. 266 формула (13.10) (определяет величину rho. А что такое rho?)
стр. 263 абзац 1. Первоначальная длина этого волокна (нейтрального слоя) равна dx = O_1 O_2 = rho d alpha. Т.е. rho - это ... (впишите ваши варианты.
Наверх
 
 
E-mail Посмотреть Профиль   IP записан
KAM
Специалист
****




Сообщений: 273
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #11 - 17.11.2012 :: 08:40:48
 
Процитировано сообщение: Sokrat от 16.11.2012 :: 22:55:09:
3) Радиус нейтральной/срединной линии R0 по графическим данным Autocad равен 90 мм - это после изгиба прямого стержня, где прямой стержень стал кривым.

А почему в Автокаде Вы не учитываете температурное расширение?
 
Процитировано сообщение: Sokrat от 16.11.2012 :: 22:55:09:
По формуле Беляева (для кривых стержней) R0 = 89.6294 мм. Я так понимаю, что если изгибать кривой стержень ещё на более меньший радиус, то формула Беляева должна заработать?

Хватит обижать Беляева! Формула (31.22) была выведена для изгиба изначально кривого стержня, для учёта влияния его начальной кривизны. Почему Вы с упорством, достойным лучшего применения, пытаетесь рассчитывать с помощью них прямой стержень?
Формула не заработает, пока не будете рассматривать изначально кривой стержень.
 
Процитировано сообщение: Sokrat от 16.11.2012 :: 22:55:09:
4) Хороший вопрос. Надо найти обобщенные уравнения закона Гука.

Ищите.
 
Процитировано сообщение: Sokrat от 16.11.2012 :: 22:55:09:
И ещё. Думается мне, что если нейтральная линия не будет проходить через центр тяжести сечения при изгибе кривого стержня, то её длина после изгиба стержня будет меньше длины до изгиба этого же стержня...А если длина уменьшится, то определение нейтральной линии теряет смысл. Вот такой парадокс.

Ещё раз при изгибе прямого стержня - нейтральная линия проходит по центру тяжести.
При изгибе кривого - не проходит по центру тяжести.
В обоих случаях если правильно применять формулы получите - нейтральную линию, линию длина которой не изменилась.
 
Парадокса нет, Вы говорите на белое - черное, на черно - красное. И утверждаете, что это парадокс.
Наверх
 
 
E-mail Посмотреть Профиль   IP записан
Sokrat
Участник
**




Сообщений: 71
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #12 - 17.11.2012 :: 22:10:39
 
Процитировано сообщение: KAM от 17.11.2012 :: 08:40:48:
Процитировано сообщение: Sokrat от 16.11.2012 :: 22:55:09:
3) Радиус нейтральной/срединной линии R0 по графическим данным Autocad равен 90 мм - это после изгиба прямого стержня, где прямой стержень стал кривым.

А почему в Автокаде Вы не учитываете температурное расширение?

Потому что мы изучаем холодную деформацию, где влияние температуры незначительно и можно принять допущение. Знаете в сопромате очень много упрощений и допущений, если всё учитывать, то ни один студент и инженер не сможет им пользоваться.
Наверх
 
 
Посмотреть Профиль   IP записан
Sokrat
Участник
**




Сообщений: 71
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #13 - 17.11.2012 :: 22:14:34
 
Процитировано сообщение: KAM от 17.11.2012 :: 08:40:48:
Хватит обижать Беляева! Формула (31.22) была выведена для изгиба изначально кривого стержня, для учёта влияния его начальной кривизны. Почему Вы с упорством, достойным лучшего применения, пытаетесь рассчитывать с помощью них прямой стержень?Формула не заработает, пока не будете рассматривать изначально кривой стержень.

Не, Беляева я очень люблю читать и уважаю за то, что он очень доступным языком пишет, лучше, чем другие известные мне авторы Улыбка
Хорошо, давайте применим формулу для кривого стержня, это я и хочу проверить. У нас уже имеется кривой стержень в шапке форума. Теперь нужно выполнить его чистый изгиб, опять же приложим момент уже к изогнутому брусу с наружным радиусом 100 мм и внутренним 80 мм. Радиус нейтральной линии кривого стержня равен 90 мм. Теперь попробуем посчитать радиус нейтральной линии при изгибе кривого бруса.
Наверх
 
 
Посмотреть Профиль   IP записан
gontar
Новичок
*




Сообщений: 30
Re: Нейтральная линия балки. Проверка формул Беляе
Ответ #14 - 20.11.2012 :: 07:55:45
 
В первом посте дано предлагаемое определение нейтральной линии или нейтрального слоя, как слоя, длина волокон которого при изгибе не изменяется. Правильно нужно сказать, что нейтральный слой или линия - это линия, в границах которой относительные деформации материала равны нулю. Следовательно, и напряжения материала в пределах этого слоя должны быть равными нулю. Рисунок в первом посте не отражает реальной картины деформирования, так как он не учитывает деформаций, которые возникают от действия поперечных сил. Нейтральная линия не будет идти параллельно нижней или верхней грани, она в реальных условиях изгиба балок параболически или иным способом изогнется в зависимости от условий нагружения и упрется своими концами в опоры. Длина нейтральной линии не должна быть равна ее исходной длине. Уважаемый Sokrat, Вы невнимательно читали проф. Беляева. Почитайте еще проф. Мурашева, его описание напряженно деформированного состояния изгибаемых железобетонных конструкций при работе с трещинами, и вы узнаете, что нейтральная линия еще и может иметь вид затухающей синусоиды. И это не только теория. Я проверял ее при испытании железобетонных конструкций путем замера деформаций сжатия и растяжения как по длине, так и по высоте конструкции, все подтверждается. То  есть нейтральная линия в процессе работы конструкций может менять не только длину, но и форму, фактически далека от прямой линии и характеризуется лишь тем, что в ее пределах относительные деформации материала равны нулю.
Наверх
 
 
E-mail Посмотреть Профиль   IP записан
Страниц: 1 2 
Послать Тему Печать