Надо схему траверсы с приложенными нагрузками

2F - это на канаты? Странная какая то траверса. Если L1 не равно L2, то система сил не может быть в равновесии. Крутящий момент куда то должен передаваться. Какие профили? Замкнутые или двутавровые? Устойчиовсть плоской формы изгиба учтена? Она ведь может и не зависеть от Ry Почему ни одна типовая схема траверсы не походит?
Выбор стали - это условия работы и расчетная температура (табл51* СНиП "СК"), просто как то странно - может быть саму конструкцию изменить для уменьшения веса. У вас такие большие напряжения получаются, что 09Г2С не проходит, очень ответственная конструкция.

Просто если все как на рисунке - силы по F и плечи L1 и L2, то система в равновесии не находится. Тут даже не суть важно - где центр тяжести, не находится и все.  А раз такое дело - не понятно, как вообще по такой схеме напряжения определяются. Может быть что то не так, будут разные F1 и F2 и другие напряжения (конструкция то весьма отвественная - нужно чтобы все было понятно там - где и чего, а потом уже и сталь выбирать). Можно сделать балки сечения переменного по высоте, оптимизировать вес через оптимизацию сечений. Просто более прочная сталь - тоже можно, но ее соответственно сваривать сложнее, высокий уровень напряжений там подбавляет опасений сам по себе)
Есть ограничения по высоте траверсы?

Это зависит от конкретных особенностей вашей конструкции. Просто руководствуйтесь СНиП "Стальные конструкции", например - там все прописано.

Принципиально различий нет, а детали зависят от конкретной конструкции которую вы не показываете.  20% веса можно сбросить и за счет простого усовершенствования конструкции, без замены стали.См. Табл. 51, б -  сталь С375 - 10ХСНД "фасонный прокат без ограничения толщины, листовой - толщиной до 10 мм".  У вас какой прокат?  
Разница между 345 и 375 весьма небольшая кстати.  

Вот одна из двух поперечно лежащих балок. Но сейчас у меня проблема в следующем. Как видно эта балка ассиметричная. Ребро стоящее между отверстиями находится по оси основной балки. То есть при подъёме всю траверсу будет перекашивать. Разница в массах двух половин этой балки в 350 кг. Навешивать на короткую часть нельзя - увеличится общая масса траверсы, а это нельзя! Придётся "дырявить" длинную (правую) часть. Подскажите пожалуйста, какие особенности, кроме того, что в отверстия (например в вертикальных стенках) нужно вставлять обечайку?

Рёбра стоят предварительно. А перфорировать стенку - бесполезно, уже пробовал. Короткая часть балки должна на 36,7% тяжелее чем длинная. Придётся длинную часть балки делать двутавровой, а короткую коробчатой. Благо дело там крутящего момента нет.